Οι εξισώσεις κινηματικής περιγράφουν την κίνηση ενός αντικειμένου που υφίσταται συνεχή επιτάχυνση. Αυτές οι εξισώσεις σχετίζονται με τις μεταβλητές του χρόνου, της θέσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός κινούμενου αντικειμένου, επιτρέποντας την επίλυση οποιασδήποτε από αυτές τις μεταβλητές εάν είναι γνωστές οι άλλες.
Ακολουθεί μια απεικόνιση ενός αντικειμένου που υποβάλλεται σε συνεχή κίνηση επιτάχυνσης σε μία διάσταση. Η μεταβλητή τ είναι για το χρόνο, η θέση είναι Χ, ταχύτητα β και επιτάχυνση ένα. Οι συνδρομητές Εγώ και φά σημαίνει "αρχικό" και "τελικό" αντίστοιχα. Θεωρείται ότι τ = 0 στις ΧΕγώ και βΕγώ.
(Εισαγωγή εικόνας 1)
Λίστα εξισώσεων κινηματικών
Παρακάτω αναφέρονται τρεις κύριες κινηματικές εξισώσεις που ισχύουν όταν εργάζεστε σε μία διάσταση. Αυτές οι εξισώσεις είναι:
\ # \ κείμενο {1:} v_f = v_i + στο \\ \ # \ κείμενο {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 στο ^ 2 \\ \ # \ κείμενο {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2α (x_f - x_i)
Σημειώσεις σχετικά με τις Κινητικές Εξισώσεις
- Αυτές οι εξισώσεις λειτουργούν μόνο με σταθερή επιτάχυνση (η οποία μπορεί να είναι μηδέν στην περίπτωση σταθερής ταχύτητας).
- Ανάλογα με την πηγή που διαβάζετε, οι τελικές ποσότητες ενδέχεται να μην έχουν συνδρομή φά, και / ή θα μπορούσαν να αναπαρασταθούν στη σημειογραφία συνάρτησης ως x (τ) - ανάγνωση "Χ ως συνάρτηση του χρόνου »ή«Χ κατά το χρόνο τ" - και v (τ). Σημειώστε ότι x (τ) δεν σημαίνει Χ πολλαπλασιασμένο επί τ!
-
Μερικές φορές η ποσότητα Χφά - ΧΕγώ είναι γραμμένο
Δχ, που σημαίνει «η αλλαγή στο Χ, "Ή ακόμα και απλά ρε, σημαίνει μετατόπιση. Όλα είναι ισοδύναμα. Η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι ποσότητες φορέα, που σημαίνει ότι έχουν κατεύθυνση που σχετίζεται με αυτά. Σε μία διάσταση, η κατεύθυνση υποδηλώνεται συνήθως με σημάδια - οι θετικές ποσότητες βρίσκονται στη θετική κατεύθυνση και οι αρνητικές ποσότητες βρίσκονται στην αρνητική κατεύθυνση. Συνδρομές: Το "0" μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αρχική θέση και ταχύτητα αντί για Εγώ. Αυτό το "0" σημαίνει "στο τ = 0, "και Χ0 και β0 συνήθως προφέρονται "x-naught" και "v-naught." * Μόνο μία από τις εξισώσεις δεν περιλαμβάνει χρόνο. Όταν γράφετε givens και καθορίζετε ποια εξίσωση θα χρησιμοποιήσετε, αυτό είναι το κλειδί!
Μια ειδική περίπτωση: Δωρεάν πτώση
Η κίνηση ελεύθερης πτώσης είναι η κίνηση ενός αντικειμένου που επιταχύνεται μόνο λόγω της βαρύτητας απουσία αντίστασης στον αέρα. Ισχύουν οι ίδιες κινηματικές εξισώσεις. Ωστόσο, η τιμή επιτάχυνσης κοντά στην επιφάνεια της Γης είναι γνωστή. Το μέγεθος αυτής της επιτάχυνσης αντιπροσωπεύεται συχνά από σολ, όπου g = 9,8 m / s2. Η κατεύθυνση αυτής της επιτάχυνσης είναι προς τα κάτω, προς την επιφάνεια της Γης. (Σημειώστε ότι ορισμένες πηγές ενδέχεται να είναι κατά προσέγγιση σολ ως 10 m / s2και άλλοι ενδέχεται να χρησιμοποιούν μια τιμή που είναι ακριβής σε περισσότερα από δύο δεκαδικά ψηφία.)
Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων για προβλήματα κινηματικής σε μία διάσταση:
Σχεδιάστε ένα διάγραμμα της κατάστασης και επιλέξτε ένα κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων. (Θυμηθείτε ότι Χ, β και ένα είναι όλες οι ποσότητες του διανύσματος, οπότε ορίζοντας μια σαφή θετική κατεύθυνση, θα είναι ευκολότερο να παρακολουθείτε τα σημάδια.)
Γράψτε μια λίστα γνωστών ποσοτήτων. (Προσέξτε ότι μερικές φορές οι γνωστοί δεν είναι προφανείς. Αναζητήστε φράσεις όπως "ξεκινά από ξεκούραση", που σημαίνει αυτό βΕγώ = 0 ή "χτυπά το έδαφος", που σημαίνει ότι Χφά = 0 και ούτω καθεξής.)
Καθορίστε ποια ποσότητα θέλει η ερώτηση να βρείτε. Για ποιο άγνωστο θα λύσετε;
Επιλέξτε την κατάλληλη κινηματική εξίσωση. Αυτή θα είναι η εξίσωση που περιέχει την άγνωστη ποσότητα σας μαζί με γνωστές ποσότητες.
Λύστε την εξίσωση για την άγνωστη ποσότητα και, στη συνέχεια, συνδέστε γνωστές τιμές και υπολογίστε την τελική απάντηση. (Προσέξτε τις μονάδες! Μερικές φορές θα πρέπει να μετατρέψετε μονάδες πριν από τον υπολογισμό.)
Μονοδιάστατα παραδείγματα κινηματικής
Παράδειγμα 1: Μια διαφήμιση ισχυρίζεται ότι ένα σπορ αυτοκίνητο μπορεί να φτάσει από 0 έως 60 μίλια / ώρα σε 2,7 δευτερόλεπτα. Ποια είναι η επιτάχυνση αυτού του αυτοκινήτου σε m / s2? Πόσο μακριά διαρκεί αυτά τα 2,7 δευτερόλεπτα;
Λύση:
(Εισαγωγή εικόνας 2)
Γνωστές και άγνωστες ποσότητες:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ κείμενο {? }
Το πρώτο μέρος της ερώτησης απαιτεί επίλυση για την άγνωστη επιτάχυνση. Εδώ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση # 1:
v_f = v_i + at \ σημαίνει a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Πριν συνδέσουμε τους αριθμούς, ωστόσο, πρέπει να μετατρέψουμε 60 mph σε m / s:
60 \ ακύρωση {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0,477 \ text {m / s}} {\ ακύρωση {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26,8 \ κείμενο {m / s}
Έτσι, η επιτάχυνση είναι τότε:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ υπογράμμιση {\ bold {9.93} \ κείμενο {m / s} ^ 2}
Για να βρούμε πόσο μακριά φτάνει εκείνη τη στιγμή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση # 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 at ^ 2 = \ frac 1 2 \ times 9,93 \ φορές 2,7 ^ 2 = \ υπογράμμιση {\ bold {36,2} \ κείμενο {m}}
Παράδειγμα 2: Μια μπάλα ρίχνεται με ταχύτητα 15 m / s από ύψος 1,5 m. Πόσο γρήγορα πηγαίνει όταν χτυπά το έδαφος; Πόσος χρόνος χρειάζεται για να χτυπήσω το έδαφος;
Λύση:
(Εισαγωγή εικόνας 3)
Γνωστές και άγνωστες ποσότητες:
x_i = 1.5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9.8 \ κείμενο {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
Για να λύσουμε το πρώτο μέρος, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση # 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ σημαίνει v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Όλα είναι ήδη σε συνεπείς μονάδες, ώστε να μπορούμε να συνδέουμε τιμές:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9,8) (0-1,5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ περίπου \ pm16 \ κείμενο {m / s}
Υπάρχουν δύο λύσεις εδώ. Ποιο από τα δύο είναι σωστό? Από το διάγραμμα, μπορούμε να δούμε ότι η τελική ταχύτητα πρέπει να είναι αρνητική. Έτσι η απάντηση είναι:
v_f = \ υπογράμμιση {\ bold {-16} \ κείμενο {m / s}}
Για να λύσουμε το χρόνο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε την εξίσωση # 1 είτε την εξίσωση # 2. Δεδομένου ότι η εξίσωση # 1 είναι απλούστερη στην εργασία, θα τη χρησιμοποιήσουμε:
v_f = v_i + at \ implies t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ περ. \ υπογράμμιση {\ bold {3.2} \ κείμενο {s }}
Σημειώστε ότι η απάντηση στο πρώτο μέρος αυτής της ερώτησης δεν ήταν 0 m / s. Ενώ είναι αλήθεια ότι μετά την προσγείωση της μπάλας, θα έχει 0 ταχύτητα, αυτή η ερώτηση θέλει να μάθει πόσο γρήγορα πηγαίνει σε αυτό το δευτερόλεπτο πριν από την κρούση. Μόλις η μπάλα έρθει σε επαφή με το έδαφος, οι κινηματικές μας εξισώσεις δεν ισχύουν πλέον επειδή η επιτάχυνση δεν θα είναι σταθερή.
Κινητικές εξισώσεις για κίνηση βλήματος (δύο διαστάσεις)
Ένα βλήμα είναι ένα αντικείμενο που κινείται σε δύο διαστάσεις υπό την επίδραση της βαρύτητας της Γης. Το μονοπάτι του είναι παραβολή επειδή η μόνη επιτάχυνση οφείλεται στη βαρύτητα. Οι κινηματικές εξισώσεις για κίνηση βλήματος έχουν ελαφρώς διαφορετική μορφή από τις κινηματικές εξισώσεις που αναφέρονται παραπάνω. Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι τα στοιχεία κίνησης είναι κάθετα μεταξύ τους - όπως το οριζόντιο Χ κατεύθυνση και το κατακόρυφο ε κατεύθυνση - είναι ανεξάρτητες.
Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων για Κινηματικά Προβλήματα Προβλημάτων:
Σχεδιάστε ένα διάγραμμα της κατάστασης. Όπως και με τη μονοδιάστατη κίνηση, είναι χρήσιμο να σκιαγραφήσετε το σενάριο και να υποδείξετε το σύστημα συντεταγμένων. Αντί να χρησιμοποιείτε τις ετικέτες Χ, β και ένα για τη θέση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση, χρειαζόμαστε έναν τρόπο επισήμανσης της κίνησης σε κάθε διάσταση ξεχωριστά.
Για την οριζόντια κατεύθυνση, είναι πιο συνηθισμένο να χρησιμοποιείται Χ για θέση και βΧ για το στοιχείο x της ταχύτητας (σημειώστε ότι η επιτάχυνση είναι 0 προς αυτήν την κατεύθυνση, οπότε δεν χρειαζόμαστε μεταβλητή για αυτό.) ε κατεύθυνση, είναι πιο συνηθισμένο στη χρήση ε για θέση και βε για το συστατικό y της ταχύτητας. Η επιτάχυνση μπορεί είτε να επισημανθεί έναε ή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι γνωρίζουμε ότι η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι σολ στην αρνητική κατεύθυνση y και απλώς χρησιμοποιήστε το αντί αυτού.
Γράψτε μια λίστα γνωστών και άγνωστων ποσοτήτων χωρίζοντας το πρόβλημα σε δύο ενότητες: κάθετη και οριζόντια κίνηση. Χρησιμοποιήστε την τριγωνομετρία για να βρείτε τα συστατικά x και y οποιωνδήποτε διανυσματικών ποσοτήτων που δεν βρίσκονται κατά μήκος ενός άξονα. Μπορεί να είναι χρήσιμο να το αναφέρετε σε δύο στήλες:
(εισαγάγετε τον πίνακα 1)
Σημείωση: Εάν η ταχύτητα δίνεται ως μέγεθος μαζί με μια γωνία, Ѳ, πάνω από την οριζόντια και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε διανυσματική αποσύνθεση, βΧ= vcos (Ѳ) και βε= vsin (Ѳ).
Μπορούμε να εξετάσουμε τις τρεις κινηματικές εξισώσεις μας από πριν και να τις προσαρμόσουμε στις κατευθύνσεις x και y αντίστοιχα.
Χ κατεύθυνση:
x_f = x_i + v_xt
Υ κατεύθυνση:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Σημειώστε ότι η επιτάχυνση στο ε η κατεύθυνση είναι -g εάν υποθέσουμε ότι είναι θετική. Μια κοινή παρανόηση είναι ότι g = -9,8 m / s2, αλλά αυτό είναι λανθασμένο. σολ το ίδιο είναι απλώς το μέγεθος της επιτάχυνσης: g = 9,8 m / s2, επομένως πρέπει να καθορίσουμε ότι η επιτάχυνση είναι αρνητική.
Λύστε για ένα άγνωστο σε μία από αυτές τις διαστάσεις και, στη συνέχεια, συνδέστε αυτό που είναι κοινό και στις δύο κατευθύνσεις. Ενώ η κίνηση στις δύο διαστάσεις είναι ανεξάρτητη, συμβαίνει στην ίδια κλίμακα χρόνου, οπότε η μεταβλητή χρόνου είναι η ίδια και στις δύο διαστάσεις. (Ο χρόνος που χρειάζεται η μπάλα για να υποστεί την κάθετη κίνησή του είναι ο ίδιος με τον χρόνο που χρειάζεται για να υποστεί την οριζόντια κίνηση.)
Παραδείγματα κινητικής προβολής βλήματος
Παράδειγμα 1: Ένα βλήμα εκτοξεύεται οριζόντια από ένα βράχο ύψους 20 m με αρχική ταχύτητα 50 m / s. Πόσος χρόνος χρειάζεται για να χτυπήσω το έδαφος; Πόσο μακριά από τη βάση του γκρεμού προσγειώνεται;
(εισαγωγή εικόνας 4)
Γνωστές και άγνωστες ποσότητες:
(εισαγάγετε τον πίνακα 2)
Μπορούμε να βρούμε το χρόνο που χρειάζεται για να χτυπήσουμε το έδαφος χρησιμοποιώντας τη δεύτερη εξίσωση κάθετης κίνησης:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ σημαίνει t = \ sqrt {\ frac {(2 \ times 20)} g} = \ υπογράμμιση {\ bold {2.02} \ κείμενο {s} }
Τότε για να βρεις πού προσγειώνεται, Χφά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση οριζόντιας κίνησης:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ υπογράμμιση {\ bold {101} \ κείμενο {s}}
Παράδειγμα 2: Μια μπάλα εκτοξεύεται στα 100 m / s από το επίπεδο του εδάφους υπό γωνία 30 μοιρών με την οριζόντια. Πού προσγειώνεται; Πότε είναι η μικρότερη ταχύτητα; Ποια είναι η τοποθεσία του αυτή τη στιγμή;
(εισαγωγή εικόνας 5)
Γνωστές και άγνωστες ποσότητες:
Πρώτα πρέπει να χωρίσουμε τον φορέα ταχύτητας σε συνιστώσες:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ περίπου 86,6 \ κείμενο {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ κείμενο {m / s}
Ο πίνακας ποσοτήτων μας είναι τότε:
(εισαγάγετε τον πίνακα 3)
Πρώτα πρέπει να βρούμε την ώρα κατά την οποία η μπάλα βρίσκεται σε πτήση. Μπορούμε να το κάνουμε με τη δεύτερη κάθετη εξίσωση_. Σημειώστε ότι χρησιμοποιούμε τη συμμετρία της παραβολής για να προσδιορίσουμε ότι το τελικό _y Η ταχύτητα είναι το αρνητικό του αρχικού:
Στη συνέχεια, καθορίζουμε πόσο μακριά κινείται στο Χ κατεύθυνση αυτή τη στιγμή:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ φορές 10,2 \ περίπου \ υπογράμμιση {\ bold {883} \ κείμενο m}
Χρησιμοποιώντας τη συμμετρία του παραβολικού μονοπατιού, μπορούμε να προσδιορίσουμε ότι η ταχύτητα είναι μικρότερη 5.1 δ, όταν το βλήμα βρίσκεται στην κορυφή της κίνησής του και το κατακόρυφο στοιχείο της ταχύτητας είναι 0. Τα συστατικά x και y της κίνησής του αυτή τη στιγμή είναι:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ φορές 5,1 \ περίπου \ υπογράμμιση {\ bold {442} \ κείμενο m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ φορές 5,1- \ frac 1 2 9,8 \ φορές 5,1 ^ 2 \ περίπου \ υπογράμμιση {\ έντονο {128} \ κείμενο {m}}
Παράγωγο Κινηματικών Εξισώσεων
Εξίσωση # 1: Εάν η επιτάχυνση είναι σταθερή, τότε:
α = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Λύνοντας για την ταχύτητα, έχουμε:
v_f = v_i + στο
Εξίσωση # 2: Η μέση ταχύτητα μπορεί να γραφτεί με δύο τρόπους:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Αν αντικαταστήσουμε το _vφά _με την έκφραση από την εξίσωση # 1, λαμβάνουμε:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Επίλυση για Χφά δίνει:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 στο ^ 2
Εξίσωση # 3: Ξεκινήστε λύνοντας για τ στην εξίσωση # 1
v_f = v_i + at \ σημαίνει t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Συνδέστε αυτήν την έκφραση για τ στη σχέση μέσης ταχύτητας:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ σημαίνει \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i) )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Η αναδιάταξη αυτής της έκφρασης δίνει:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2α (x_f - x_i)