In der realen Welt ist eine Parabel der Bogen, den ein Ball beim Werfen macht, oder die charakteristische Form einer Satellitenschüssel. Mathematisch gesehen ist eine Parabel die Form, die Sie erhalten, wenn Sie durch einen massiven Kegel in einem Winkel schneiden, der parallel zu einer seiner Seiten ist, weshalb sie als eine der. bekannt ist "konische Abschnitte." Der einfachste Weg, die Gleichung einer Parabel zu finden, besteht darin, Ihr Wissen über einen speziellen Punkt, den sogenannten Scheitelpunkt, zu verwenden, der sich auf der Parabel befindet selbst.
Erkennen einer Parabelformel
Wenn Sie eine quadratische Gleichung in zwei Variablen der Formy = ax2 + bx + c, wobei a ≠ 0, dann herzlichen Glückwunsch! Sie haben eine Parabel gefunden. Die quadratische Gleichung wird manchmal auch als "Standardform"-Formel einer Parabel bezeichnet.
Aber wenn Ihnen ein Diagramm einer Parabel angezeigt wird (oder ein paar Informationen über die Parabel in Text oder "Wort" Problem"-Format), möchten Sie Ihre Parabel in der sogenannten Scheitelpunktform schreiben, die wie folgt aussieht diese:
y = a (x - h)2 + k(wenn sich die Parabel vertikal öffnet)
x = a (y - k)2 + h(wenn sich die Parabel horizontal öffnet)
Was ist der Scheitelpunkt der Parabel?
In beiden Formeln stellen die Koordinaten (h, k) den Scheitelpunkt der Parabel dar, der der Punkt ist, an dem die Symmetrieachse der Parabel die Linie der Parabel selbst schneidet. Oder anders ausgedrückt, wenn Sie die Parabel in der Mitte in zwei Hälften falten würden, wäre der Scheitelpunkt die "Spitze" der Parabel, genau dort, wo sie die Papierfalte kreuzt.
Finden der Gleichung einer Parabel
Wenn Sie aufgefordert werden, die Gleichung einer Parabel zu finden, wird Ihnen entweder der Scheitelpunkt der Parabel und mindestens einen anderen Punkt darauf, oder Sie erhalten genügend Informationen, um diese zu ermitteln aus. Sobald Sie diese Informationen haben, können Sie die Parabelgleichung in drei Schritten finden.
Lassen Sie uns eine Beispielaufgabe machen, um zu sehen, wie es funktioniert. Stellen Sie sich vor, Sie erhalten eine Parabel in Form eines Diagramms. Ihnen wird gesagt, dass der Scheitelpunkt der Parabel am Punkt (1,2) liegt, dass sie sich vertikal öffnet und dass ein anderer Punkt auf der Parabel (3,5) ist. Wie lautet die Parabelgleichung?
Bei all diesen Buchstaben und Zahlen, die herumschweben, kann es schwer sein zu wissen, wann Sie mit der Suche nach einer Formel "fertig" sind! Als allgemeine Regel gilt: Wenn Sie mit Problemen in zwei Dimensionen arbeiten, sind Sie fertig, wenn nur noch zwei Variablen übrig sind. Diese Variablen werden normalerweise geschrieben alsxundja,insbesondere wenn es sich um "standardisierte" Formen wie eine Parabel handelt.
Ihre allererste Priorität muss sein, zu entscheiden, welche Form der Scheitelpunktgleichung Sie verwenden werden. Denken Sie daran, wenn sich die Parabel vertikal öffnet (was bedeuten kann, dass die offene Seite des U nach oben oder unten zeigt), verwenden Sie diese Gleichung:
y = a (x - h)2 + k
Und wenn sich die Parabel horizontal öffnet (was bedeuten kann, dass die offene Seite des U nach rechts oder links zeigt), verwenden Sie diese Gleichung:
x = a (y - k)2 + h
Da sich die Beispielparabel vertikal öffnet, verwenden wir die erste Gleichung.
Setzen Sie als Nächstes die Scheitelpunktkoordinaten (h, k) der Parabel in die in Schritt 1 gewählte Formel ein. Da Sie wissen, dass der Scheitelpunkt bei (1,2) liegt, setzen Sie h = 1 und k = 2 ein, was Ihnen Folgendes ergibt:
y = a (x - 1)2 + 2
Das letzte, was Sie tun müssen, ist den Wert von zu findenein. Wählen Sie dazu einen beliebigen Punkt (x, y) auf der Parabel, solange dieser Punkt nicht der Scheitelpunkt ist, und setzen Sie ihn in die Gleichung ein.
In diesem Fall haben Sie bereits die Koordinaten für einen anderen Punkt auf dem Scheitelpunkt erhalten: (3,5). Sie setzen also x = 3 und y = 5 ein, was Ihnen Folgendes ergibt:
5 = a (3 - 1)2 + 2
Jetzt musst du nur noch diese Gleichung auflösen nachein. Eine kleine Vereinfachung bringt Ihnen Folgendes:
5 = ein (2)2 + 2, die weiter vereinfacht werden kann zu:
5 = a (4) + 2, was wiederum zu:
3 = ein (4), und schlussendlich:
a = 3/4
Jetzt, da Sie den Wert von. gefunden habenein, setzen Sie es in Ihre Gleichung ein, um das Beispiel zu beenden:
y = (3/4)(x - 1)2 + 2ist die Gleichung für eine Parabel mit Scheitelpunkt (1,2) und enthält den Punkt (3,5).