Stellen Sie sich vor, Sie stehen mitten in einer perfekt kreisförmigen Arena. Du schaust auf die Menge an den Seiten der Arena und siehst deinen besten Freund auf einem Sitzplatz und deinen Mathelehrer an der Mittelschule ein paar Abschnitte weiter. Wie groß ist die Entfernung zwischen ihnen und dir? Wie weit müssten Sie laufen, um vom Platz Ihres Freundes zum Platz Ihres Lehrers zu gelangen? Was sind die Maße der Winkel zwischen Ihnen? Dies sind alles Fragen im Zusammenhang mit Zentralwinkeln.
EIN Zentralwinkel ist der Winkel, der entsteht, wenn zwei Radien vom Mittelpunkt des Kreises zu seinen Rändern gezogen werden. In diesem Beispiel sind die beiden Radien Ihre beiden Sichtlinien von Ihnen in der Mitte der Arena zu Ihrem Freund und Ihre Sichtlinie zu Ihrem Lehrer. Der Winkel, der sich zwischen diesen beiden Linien bildet, ist der Zentralwinkel. Es ist der Winkel, der dem Mittelpunkt des Kreises am nächsten ist.
Dein Freund und dein Lehrer sitzen entlang der Umfang oder die Kanten des Kreises. Der Weg entlang der Arena, der sie verbindet, ist ein Bogen.
Finden Sie den Zentralwinkel aus Bogenlänge und -umfang
Es gibt ein paar Gleichungen, die Sie verwenden können, um den Zentralwinkel zu bestimmen. Manchmal bekommst du die Bogenlänge, der Abstand entlang des Umfangs zwischen zwei Punkten. (Im Beispiel ist dies die Distanz, die Sie in der Arena zurücklegen müssten, um von Ihrem Freund zu Ihrem Lehrer zu gelangen.) Die Beziehung zwischen Mittelpunktwinkel und Bogenlänge ist:
(Bogenlänge) ÷ Umfang = (Mittelwinkel) ÷ 360°
Der Zentralwinkel wird in Grad angegeben.
Diese Formel macht Sinn, wenn Sie darüber nachdenken. Die Länge des Bogens aus der Gesamtlänge um den Kreis (Umfang) ist der gleiche Anteil wie der Winkel des Bogens aus dem Gesamtwinkel in einem Kreis (360 Grad).
Um diese Gleichung effektiv zu verwenden, müssen Sie den Umfang des Kreises kennen. Sie können diese Formel aber auch verwenden, um die Bogenlänge zu ermitteln, wenn Sie den Zentriwinkel und den Umfang kennen. Oder, wenn Sie die Bogenlänge und den Zentriwinkel haben, können Sie den Umfang ermitteln!
Finden Sie den Zentralwinkel aus der Bogenlänge und dem Radius
Sie können auch den Radius des Kreises und die Bogenlänge verwenden, um den Mittelpunktswinkel zu ermitteln. Nennen Sie das Maß des Zentriwinkels θ. Dann:
= sr, wobei s die Bogenlänge und r der Radius ist. θ wird im Bogenmaß gemessen.
Auch hier können Sie diese Gleichung abhängig von den Informationen, die Sie haben, neu anordnen. Die Länge des Bogens können Sie aus dem Radius und dem Zentriwinkel ermitteln. Oder Sie können den Radius ermitteln, wenn Sie den Zentriwinkel und die Bogenlänge haben.
Wenn Sie die Bogenlänge wünschen, sieht die Gleichung wie folgt aus:
s =θ * r, wobei s die Bogenlänge, r der Radius und θ der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß ist.
Der Zentralwinkelsatz
Lassen Sie uns Ihrem Beispiel, in dem Sie mit Ihrem Nachbarn und Ihrem Lehrer in der Arena sind, eine Wendung hinzufügen. Jetzt gibt es eine dritte Person, die Sie in der Arena kennen: Ihren Nachbarn von nebenan. Und noch etwas: Sie stehen hinter dir. Sie müssen sich umdrehen, um sie zu sehen.
Dein Nachbar ist ungefähr auf der anderen Seite der Arena von deinem Freund und deinem Lehrer. Aus der Sicht Ihres Nachbarn gibt es einen Winkel, der durch seine Sichtlinie zum Freund und seine Sichtlinie zum Lehrer gebildet wird. Das nennt man einen eingeschriebenen Winkel. Ein eingeschriebener Winkel ist ein Winkel, der von drei Punkten entlang des Umfangs eines Kreises gebildet wird.
Der Zentralwinkelsatz erklärt die Beziehung zwischen der Größe des von Ihnen gebildeten Zentralwinkels und dem von Ihrem Nachbarn gebildeten eingeschriebenen Winkel. Das Zentralwinkelsatz besagt, dass der Zentriwinkel ist das Doppelte des eingeschriebenen Winkels. (Dies setzt voraus, dass Sie dieselben Endpunkte verwenden. Sie sehen beide den Lehrer und den Freund an, nicht irgendjemand anderen).
Hier ist eine andere Möglichkeit, es zu schreiben. Nennen wir den Platz Ihres Freundes A, den Platz Ihres Lehrers B und den Platz Ihres Nachbarn C. Du, im Zentrum, kannst O sein.
Für drei Punkte A, B und C entlang des Umfangs eines Kreises und Punkt O in der Mitte ist der Zentriwinkel ∠AOC also das Doppelte des einbeschriebenen Winkels ∠ABC.
Das ist, AOC = 2∠ABC.
Dies macht einen gewissen Sinn. Du bist dem Freund und dem Lehrer näher, also schauen sie weiter auseinander (ein größerer Winkel). Für Ihren Nachbarn auf der anderen Seite des Stadions sehen sie viel näher zusammen (ein kleinerer Winkel).
Ausnahme vom Zentralwinkelsatz
Jetzt verschieben wir die Dinge nach oben. Dein Nachbar auf der anderen Seite der Arena beginnt sich zu bewegen! Sie haben immer noch eine Sichtlinie zum Freund und zum Lehrer, aber die Linien und Winkel verschieben sich ständig, wenn sich der Nachbar bewegt. Ratet mal: Solange der Nachbar außerhalb des Bogens zwischen Freund und Nachbar bleibt, gilt der Zentralwinkelsatz immer noch!
Aber was passiert, wenn der Nachbar umzieht zwischen der Freund und der Lehrer? Jetzt ist dein Nachbar im kleiner Bogen, die relativ geringe Entfernung zwischen dem Freund und dem Lehrer im Vergleich zu der größeren Entfernung rund um den Rest der Arena. Dann erreichen Sie eine Ausnahme vom Zentralwinkelsatz.
Das Ausnahme vom Zentralwinkelsatz besagt, dass, wenn der Nachbarpunkt C innerhalb des kleinen Bogens liegt, der eingeschriebene Winkel die Ergänzung des halben Zentralwinkels ist. (Denken Sie daran, dass ein Winkel und sein Ergänzung 180 Grad hinzufügen.)
So: einbeschriebener Winkel = 180 - (Mittelwinkel ÷ 2)
Oder: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualisieren
Math Open Reference verfügt über ein Werkzeug zur Visualisierung des Zentralwinkelsatzes und seiner Ausnahme. Sie können den "Nachbarn" in alle verschiedenen Teile des Kreises ziehen und beobachten, wie sich die Winkel ändern. Probieren Sie es aus, wenn Sie eine visuelle oder zusätzliche Übung wünschen!