Angenommen, Sie haben eine Funktion, y = f (x), wobei y eine Funktion von x ist. Dabei spielt es keine Rolle, um welche konkrete Beziehung es sich handelt. Es könnte zum Beispiel y = x^2 sein, eine einfache und bekannte Parabel, die durch den Ursprung geht. Es könnte y = x^2 + 1 sein, eine Parabel mit identischer Form und einem Scheitelpunkt eine Einheit über dem Ursprung. Es könnte eine komplexere Funktion sein, z. B. y = x^3. Unabhängig von der Funktion ist eine gerade Linie, die durch zwei beliebige Punkte auf der Kurve verläuft, eine Sekantenlinie.
Nehmen Sie die x- und y-Werte für zwei beliebige Punkte, von denen Sie wissen, dass sie auf der Kurve liegen. Punkte werden als (x-Wert, y-Wert) angegeben, also bedeutet der Punkt (0, 1) den Punkt auf der kartesischen Ebene mit x = 0 und y = 1. Die Kurve y = x^2 + 1 enthält den Punkt (0, 1). Es enthält auch den Punkt (2, 5). Sie können dies bestätigen, indem Sie jedes Wertepaar für x und y in die Gleichung einsetzen und sicherstellen, dass die Gleichung beide Male ausgeglichen ist: 1 = 0 + 1, 5 = 2^2 + 1. Sowohl (0, 1) als auch (2, 5) sind Punkte der Kurve y = x^2 +1. Eine gerade Linie dazwischen ist eine Sekante und sowohl (0, 1) als auch (2, 5) gehören ebenfalls zu dieser Geraden.
Bestimmen Sie die Gleichung für die gerade Linie, die durch diese beiden Punkte verläuft, indem Sie Werte wählen, die die Gleichung y = mx + b – die allgemeine Gleichung für jede gerade Linie – für beide Punkte erfüllen. Sie wissen bereits, dass y = 1 ist, wenn x 0 ist. Das bedeutet 1 = 0 + b. Also muss b gleich 1 sein.
Setze die Werte für x und y am zweiten Punkt in die Gleichung y = mx + b ein. Sie kennen y = 5, wenn x = 2 und Sie kennen b = 1. Das ergibt 5 = m (2) + 1. Also muss m gleich 2 sein. Jetzt kennen Sie sowohl m als auch b. Die Sekantenlinie zwischen (0, 1) und (2, 5) ist y = 2x + 1
Wählen Sie ein anderes Punktpaar auf Ihrer Kurve und Sie können eine neue Sekantenlinie bestimmen. Auf derselben Kurve, y = x^2 + 1, können Sie wie zuvor den Punkt (0, 1) nehmen, aber diesmal (1, 2) als zweiten Punkt auswählen. Setzen Sie (1, 2) in die Gleichung für die Kurve ein und Sie erhalten 2 = 1 ^ 2 + 1, was offensichtlich richtig ist, also wissen Sie, dass (1, 2) auch auf derselben Kurve liegt. Die Sekantenlinie zwischen diesen beiden Punkten ist y = mx + b: Setzt man 0 und 1 für x und y ein, erhält man: 1 = m (0) + b, also ist b immer noch gleich eins. Wenn Sie den Wert für den neuen Punkt (1, 2) einsetzen, erhalten Sie 2 = mx + 1, was ausgleicht, wenn m gleich 1 ist. Die Sekantengleichung zwischen (0, 1) und (1, 2) lautet y = x + 1.
Verweise
- University of California, Santa Barbara: Sekantenlinien, Tangentenlinien und Grenzwertdefinition einer Ableitung.
- Wolfram Math World: Sekantenlinie
Tipps
- Beachten Sie, dass sich die Sekantenlinie ändert, wenn Sie einen zweiten Punkt näher am ersten Punkt auswählen. Sie können jederzeit einen Punkt auf der Kurve näher als zuvor auswählen und eine neue Sekantenlinie erhalten. Wenn sich Ihr zweiter Punkt Ihrem ersten Punkt immer nähert, nähert sich die Sekantenlinie zwischen den beiden der Tangente an die Kurve am ersten Punkt.
Über den Autor
Andrew Breslin schreibt seit 1994 professionell. Seine Artikel und Kommentare sind in „South Florida Sun Sentinel“, „St Paul Pioneer Press“, „Detroit Free Press“, „Charlotte Observer“, „Good Medicine“ und anderen erschienen. Er hat Molekularbiologie an der Westchester University studiert und schreibt häufig über Naturwissenschaften und Mathematik.
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