Sobald Sie mit der Lösung algebraischer Gleichungen beginnen, die Polynome beinhalten, wird die Fähigkeit, spezielle, leicht faktorisierte Formen von Polynomen zu erkennen, sehr nützlich. Eines der nützlichsten Polynome mit "leichtem Faktor", die man erkennen kann, ist das perfekte Quadrat oder das Trinom, das sich aus der Quadrierung eines Binomials ergibt. Sobald Sie ein perfektes Quadrat identifiziert haben, ist es oft ein wichtiger Bestandteil des Problemlösungsprozesses, es in seine einzelnen Komponenten zu zerlegen.
Bevor Sie ein perfektes quadratisches Trinom faktorisieren können, müssen Sie lernen, es zu erkennen. Ein perfektes Quadrat kann eine von zwei Formen annehmen
a^2 + 2ab + b^2 \text{, das ist das Produkt von } (a + b)(a + b) = (a + b)^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 \text {, das ist das Produkt von } (a - b)(a - b) = (a - b)^2
Überprüfe den ersten und dritten Term des Trinoms. Sind das beide Quadrate? Wenn ja, finden Sie heraus, woraus sie Quadrate sind. Zum Beispiel im zweiten oben gegebenen Beispiel aus der "realen Welt":
y^2 - 2y + 1
der Begriffja2 ist offensichtlich das Quadrat vony.Der Term 1 ist, vielleicht weniger offensichtlich, das Quadrat von 1, denn 12 = 1.
Multiplizieren Sie die Wurzeln des ersten und dritten Termes miteinander. Um das Beispiel fortzusetzen, das istjaund 1, was dir gibtja × 1 = 1jaoder einfachja.
Als nächstes multiplizieren Sie Ihr Produkt mit 2. Wenn Sie das Beispiel fortsetzen, haben Sie 2y.
Vergleichen Sie schließlich das Ergebnis des letzten Schrittes mit dem mittleren Term des Polynoms. Passen sie zusammen? Im Polynomja2 – 2ja+ 1, tun sie. (Das Zeichen ist irrelevant; es wäre auch ein Match, wenn die Mittelfrist +2 wäreja.)
Da die Antwort in Schritt 1 "ja" war und Ihr Ergebnis aus Schritt 2 mit dem mittleren Term des Polynoms übereinstimmt, wissen Sie, dass Sie ein perfektes quadratisches Trinom betrachten.
Sobald Sie wissen, dass es sich um ein perfektes quadratisches Trinom handelt, ist der Prozess der Faktorisierung recht einfach.
Identifizieren Sie die Wurzeln oder die quadrierten Zahlen im ersten und dritten Term des Trinoms. Betrachten Sie ein anderes Ihrer Beispieltrinome, von denen Sie bereits wissen, dass es ein perfektes Quadrat ist:
x^2 + 8x + 16
Offensichtlich ist die Zahl, die im ersten Term quadriert wird,x. Die im dritten Term quadrierte Zahl ist 4, weil 42 = 16.
Denken Sie an die Formeln für perfekte quadratische Trinome zurück. Sie wissen, dass Ihre Faktoren entweder die Form (ein + b)(ein + b) oder das Formular (ein – b)(ein – b), woeinundbsind die Zahlen, die im ersten und dritten Term quadriert werden. Sie können Ihre Faktoren also so aufschreiben und die Zeichen in der Mitte jedes Begriffs vorerst weglassen:
(ein \,? \,b)(a \,? \,b) = a^2 \,?\, 2ab + b^2
Um das Beispiel fortzusetzen, indem Sie die Wurzeln Ihres aktuellen Trinoms ersetzen, haben Sie:
(x \,?\, 4)(x \, ?\, 4) = x^2 + 8x + 16
Überprüfe den mittleren Term des Trinoms. Hat es ein positives oder ein negatives Vorzeichen (oder anders ausgedrückt, wird es addiert oder subtrahiert)? Wenn es ein positives Vorzeichen hat (oder addiert wird), dann haben beide Faktoren des Trinoms ein Pluszeichen in der Mitte. Wenn es ein negatives Vorzeichen hat (oder subtrahiert wird), haben beide Faktoren ein negatives Vorzeichen in der Mitte.
Der mittlere Term des aktuellen Beispieltrinoms ist 8x– es ist positiv – also haben Sie jetzt das perfekte quadratische Trinom faktorisiert:
(x + 4) (x + 4) = x^2 + 8x + 16
Überprüfen Sie Ihre Arbeit, indem Sie die beiden Faktoren miteinander multiplizieren. Das Auftragen der FOIL-Methode oder der ersten, äußeren, inneren, letzten Methode gibt Ihnen:
x^2 + 4x + 4x + 16
Vereinfacht man dies, erhält man das Ergebnisx2 + 8x+ 16, was Ihrem Trinom entspricht. Die Faktoren stimmen also.