Was ist eine Ungleichung?

Wenn Sie anfangen, Algebra zu lernen, wird ein Gleichheitszeichen verwendet, um buchstäblich anzuzeigen, dass die beiden Dinge gleich sind. Zum Beispiel 3 = 3, 5 = 3 + 2, Apfel = Apfel, Birne = Birne usw. Dies sind alles Beispiele für Gleichungen. Im Vergleich dazu gibt eine Ungleichung zwei Informationen: Erstens, dass die Dinge, die verglichen werden,nichtgleich oder zumindest nicht immer gleich; und zweitens, inwiefern sie ungleich sind.

Eine Ungleichung wird genau so geschrieben, wie Sie eine Gleichung schreiben würden, außer dass Sie anstelle eines Gleichheitszeichens eines der Ungleichungszeichen verwenden. Sie sind ">" alias "größer als", " und < sind als strikte Ungleichungen bekannt, da sie keine Option für die beiden Seiten der Ungleichung enthalten gleich. Die Vorzeichen ≥ und ≤ bezeichnen die Möglichkeit, dass die beiden Seiten gleich sindundungleich.

Eine visuelle Darstellung – d. h. ein Graph – einer Ungleichung ist eine weitere Möglichkeit zu visualisieren, was eine Ungleichung wirklich bedeutet. Ungleichungen grafisch darzustellen ist auch etwas, was Sie im Mathematikunterricht tun müssen. Stellen Sie sich folgende Gleichung vor:

Wenn Sie dies grafisch darstellen würden, wäre es eine diagonale Linie, die gerade durch den Ursprung verläuft, nach oben und rechts abgewinkelt mit einer Steigung von 1 oder, wenn Sie es vorziehen, 1/1. Alle möglichen Lösungen der Gleichung liegen auf dieser Geraden und nur auf dieser Geraden.

Aber was wäre, wenn Sie anstelle einer Gleichung die Ungleichung hätten?

Dieses spezielle Ungleichheitssymbol würde als "kleiner oder gleich" gelesen und sagt Ihnen, dassx​ = ​jaist eine mögliche Lösung, zusammen mit jeder Kombination, bei derxist weniger alsja​.

Also die Linie repräsentiertx​ = ​jableibt eine mögliche Lösung, und Sie würden sie wie gewohnt einzeichnen. Sie würden aber auch den Bereich links von der Linie schattieren, da jeder Wert, bei demxist weniger alsjaist auch in Ihren Lösungen enthalten.

Wenn stattx​ ≤ ​jadu hattest die strikte ungleichungx​ < ​ja, Sie würden es genau so grafisch darstellen wiex​ ≤ ​y,außer dass weilx​ = ​jakeine Option mehr ist, würden Sie diese Linie nicht solide einzeichnen. Stattdessen würdest du zeichnenx​ = ​jaals gestrichelte oder unterbrochene Linie, die zeigt, dass es, obwohl es nicht Teil des Lösungssatzes ist, immer noch die Grenze ist zwischen der gültigen Lösungsmenge (in diesem Fall links von Ihrer Linie) und den Nicht-Lösungen auf der anderen Seite des Linie.

Das Lösen von Ungleichungen funktioniert größtenteils genauso wie das Lösen von Gleichungen. Wenn Sie zum Beispiel mit der einfachen Gleichung

du würdest beide Seiten durch 2 teilen, um die Antwort zu erhaltenx​ = 3.

Sie würden dasselbe tun, wenn Sie stattdessen mit denselben Zahlen als Ungleichung konfrontiert wären: Sagen Sie, 2x≥ 6. Du würdest beide Seiten durch 2 teilen und kommst zur Lösungx≥ 3 oder, um es im Klartext auszudrücken,xsteht für alle Zahlen größer oder gleich 3.

Sie können auch auf beiden Seiten einer Ungleichung Zahlen addieren und subtrahieren, genau wie bei Gleichungen, oder auf beiden Seiten durch dieselbe Zahl dividieren.

Es gibt jedoch eine bemerkenswerte Ausnahme, auf die Sie achten sollten: Wenn Sie beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, müssen Sie die Richtung des Ungleichungszeichens umkehren. Betrachten Sie zum Beispiel die Ungleichung -4ja​ > 24.

Isolierenja, müssen Sie beide Seiten durch -4 teilen. Das ist Ihr Auslöser, um die Richtung des Ungleichheitszeichens zu ändern. Nach dem Teilen hast du also:

Beachten Sie, dass die Menge der Lösungen für die eben gegebene Ungleichung −7, −8, −7.5, −9.23 und unendlich viele andere Lösungen enthält, die kleiner als −6 sind, aber nicht −6 selbst, da das Ungleichheitszeichen keinen zusätzlichen Balken für "oder gleich" hat. Um Ihre Arbeit zu überprüfen, stellen Sie also sicher, dass Sie Werte aus Ihrer Lösung ersetzen substitute einstellen.

Wenn Sie −6 in die ursprüngliche Ungleichung einsetzen, erhalten Sie −4 × −6 > 24 oder 24 > 24, was keinen Sinn macht. Sollte es auch nicht, da -6 nicht in der Lösungsmenge enthalten ist. Aber wenn Sie anfangen würden, Werte zu ersetzen, diesindim Lösungssatz enthalten, z. B. −7, erhalten Sie gültige Ergebnisse. Beispielsweise:

was vereinfacht zu:

was ein gültiges Ergebnis ist.