Es gibt einen wichtigen großen Unterschied zwischen dem Finden der vertikalen Asymptote(n) des Graphen einer rationalen Funktion und dem Finden eines Lochs im Graphen dieser Funktion. Selbst mit den modernen Grafikrechnern, die wir haben, ist es sehr schwierig, ein Loch im Diagramm zu erkennen oder zu identifizieren. Dieser Artikel zeigt, wie man sowohl analytisch als auch grafisch identifiziert.
Wir werden eine gegebene rationale Funktion als Beispiel verwenden, um analytisch zu zeigen, wie man eine vertikale Asymptote und ein Loch im Graphen dieser Funktion findet. Sei die rationale Funktion,... f(x) = (x-2)/(x² - 5x + 6).
Faktorisieren des Nenners von f (x) = (x-2)/(x² - 5x + 6). Wir erhalten die folgende äquivalente Funktion f (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)]. Wenn nun der Nenner (x-2)(x-3) = 0 ist, dann ist die rationale Funktion Undefiniert, dh der Fall der Division durch Null (0). Bitte lesen Sie den Artikel 'How to Divide by Zero (0)', geschrieben von demselben Autor, Z-MATH.
Wir werden feststellen, dass Division durch Null nur dann undefiniert ist, wenn der rationale Ausdruck einen Zähler hat, der nicht gleich Null (0) ist und der Nenner gleich Null (0) ist. In diesem Fall geht der Graph der Funktion ohne Grenzen in Richtung positive oder negative Unendlichkeit bei dem Wert von x, der bewirkt, dass der Nennerausdruck gleich Null ist. An diesem x zeichnen wir eine vertikale Linie, die als vertikale Asymptote bezeichnet wird.
Wenn nun der Zähler und der Nenner des rationalen Ausdrucks beide Null (0) sind, für denselben Wert von x, dann ist der Die Division durch Null bei diesem Wert von x gilt als 'bedeutungslos' oder unbestimmt, und bei diesem Wert haben wir ein Loch im Diagramm von x.
In der rationalen Funktion f (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)] sehen wir also, dass bei x=2 oder x=3 der Nenner gleich Null ist (0 ). Aber bei x=3 bemerken wir, dass der Zähler gleich ( 1 ) ist, d. h. f (3) = 1/0, also eine vertikale Asymptote bei x = 3. Aber bei x=2 haben wir f (2) = 0/0, 'bedeutungslos'. Es gibt ein Loch im Diagramm bei x = 2.
Wir können die Koordinaten des Lochs finden, indem wir eine äquivalente rationale Funktion zu f (x) finden, die alle gleichen Punkte von f (x) hat, außer an dem Punkt bei x = 2. Das heißt, es sei g (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)], x 2, also durch Reduktion auf die niedrigsten Terme haben wir g (x) = 1/(x- 3). Durch Einsetzen von x=2 erhalten wir in diese Funktion g (2) = 1/(2-3) = 1/(-1) = -1. das Loch im Graphen von f (x) = (x-2)/(x² - 5x + 6) liegt also bei (2,-1).
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- Papier und
- Bleistift.