Die Nullstellen eines Polynoms werden auch Nullstellen genannt, weil die Nullstellen diexWerte, bei denen die Funktion gleich Null ist. Wenn es darum geht, die Wurzeln tatsächlich zu finden, stehen Ihnen mehrere Techniken zur Verfügung; Faktorisieren ist die Methode, die Sie am häufigsten verwenden werden, obwohl auch grafische Darstellungen nützlich sein können.
Wie viele Wurzeln?
Untersuchen Sie den Term höchsten Grades des Polynoms – also den Term mit dem höchsten Exponenten. Dieser Exponent gibt an, wie viele Nullstellen das Polynom haben wird. Wenn also der höchste Exponent in Ihrem Polynom 2 ist, hat es zwei Nullstellen; wenn der höchste Exponent 3 ist, hat er drei Nullstellen; und so weiter.
Warnungen
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Es gibt einen Haken: Wurzeln eines Polynoms können reell oder imaginär sein. "Reale" Wurzeln sind Mitglieder der Menge, die als reelle Zahlen bekannt sind, die zu diesem Zeitpunkt in Ihrer Mathematikkarriere jede Zahl sind, mit der Sie sich vertraut machen. Das Beherrschen imaginärer Zahlen ist ein ganz anderes Thema, also denken Sie vorerst nur an drei Dinge:
- "Imaginäre" Wurzeln tauchen auf, wenn Sie die Quadratwurzel einer negativen Zahl haben. Zum Beispiel √(-9).
- Imaginäre Wurzeln kommen immer paarweise.
- Die Nullstellen eines Polynoms können reell oder imaginär sein. Wenn Sie also ein Polynom 5. Grades haben, kann es fünf reelle Nullstellen haben, es könnte drei reelle Nullstellen und zwei imaginäre Nullstellen haben und so weiter.
Wurzeln durch Factoring finden: Beispiel 1
Die vielseitigste Methode, Wurzeln zu finden, besteht darin, Ihr Polynom so weit wie möglich zu faktorisieren und dann jeden Term auf Null zu setzen. Dies macht viel mehr Sinn, wenn Sie einige Beispiele durchgegangen sind. Betrachten Sie das einfache Polynomx2 – 4x:
Eine kurze Untersuchung zeigt, dass Sie faktorisieren könnenxaus beiden Termen des Polynoms, was Ihnen ergibt:
x (x - 4)
Setzen Sie jeden Begriff auf Null. Das bedeutet, nach zwei Gleichungen aufzulösen:
x = 0
ist der erste Term auf Null gesetzt, und
x - 4 = 0
ist der zweite Term auf Null gesetzt.
Sie haben bereits die Lösung für den ersten Begriff. Wennx= 0, dann ist der gesamte Ausdruck gleich Null. Sox= 0 ist eine der Nullstellen oder Nullstellen des Polynoms.
Betrachten Sie nun den zweiten Term und lösen Sie nach aufx. Wenn Sie auf beiden Seiten 4 hinzufügen, haben Sie:
x - 4 + 4 = 0 + 4
was vereinfacht zu:
x = 4
Also wennx= 4, dann ist der zweite Faktor gleich Null, was bedeutet, dass auch das gesamte Polynom gleich Null ist.
Da das ursprüngliche Polynom zweiten Grades war (der höchste Exponent war zwei), wissen Sie, dass es für dieses Polynom nur zwei mögliche Nullstellen gibt. Sie haben beide bereits gefunden, also müssen Sie sie nur noch auflisten:
x = 0, x = 4
Wurzeln durch Factoring finden: Beispiel 2
Hier ist ein weiteres Beispiel dafür, wie man Wurzeln durch Faktorisieren findet und dabei eine ausgefallene Algebra verwendet. Betrachten Sie das Polynomx4 – 16. Ein kurzer Blick auf seine Exponenten zeigt Ihnen, dass es vier Nullstellen für dieses Polynom geben sollte; Jetzt ist es an der Zeit, sie zu finden.
Ist Ihnen aufgefallen, dass dieses Polynom als Differenz von Quadraten umgeschrieben werden kann? Also stattx4 – 16, du hast:
(x^2)^2 - 4^2
Was mit der Formel für die Differenz der Quadrate wie folgt herausgerechnet wird:
(x^2 - 4)(x^2 + 4)
Der erste Term ist wiederum eine Quadratdifferenz. Obwohl Sie den Term rechts nicht weiter faktorisieren können, können Sie den Term links einen Schritt weiter faktorisieren:
(x - 2) (x + 2) (x^2 + 4)
Jetzt ist es an der Zeit, die Nullen zu finden. Es wird schnell klar, dass wennx= 2, ist der erste Faktor gleich Null, und somit ist der gesamte Ausdruck gleich Null.
Ebenso, wennx= −2, ist der zweite Faktor gleich Null und damit auch der gesamte Ausdruck.
Sox= 2 undx= −2 sind beide Nullstellen oder Nullstellen dieses Polynoms.
Aber was ist mit dieser letzten Amtszeit? Da es einen Exponenten "2" hat, sollte es zwei Wurzeln haben. Aber Sie können diesen Ausdruck nicht mit den reellen Zahlen faktorisieren, an die Sie gewöhnt sind. Sie müssten ein sehr fortgeschrittenes mathematisches Konzept namens imaginäre Zahlen oder, wenn Sie es vorziehen, komplexe Zahlen verwenden. Das übersteigt bei weitem den Rahmen Ihrer gegenwärtigen mathematischen Praxis, daher reicht es für den Moment aus, zu bemerken, dass Sie zwei reelle Wurzeln (2 und −2) und zwei imaginäre Wurzeln haben, die Sie undefiniert lassen.
Finden Sie Wurzeln durch grafische Darstellung
Sie können Wurzeln auch grafisch finden oder zumindest schätzen. Jede Wurzel stellt einen Punkt dar, an dem der Graph der Funktion diexAchse. Wenn Sie also die Linie grafisch darstellen und dann diexKoordinaten, an denen die Linie die schneidetxAchse können Sie die geschätztexWerte dieser Punkte in deine Gleichung ein und überprüfe, ob du sie richtig gemacht hast.
Betrachten Sie das erste Beispiel, das Sie bearbeitet haben, für das Polynomx2 – 4x. Wenn Sie es vorsichtig herausziehen, werden Sie sehen, dass die Linie diexAchse beix= 0 undx= 4. Wenn Sie jeden dieser Werte in die ursprüngliche Gleichung eingeben, erhalten Sie:
0^2 - 4(0) = 0
sox= 0 war eine gültige Nullstelle oder Nullstelle für dieses Polynom.
4^2 - 4(4) = 0
sox= 4 ist auch eine gültige Nullstelle oder Nullstelle für dieses Polynom. Und weil das Polynom vom Grad 2 war, wissen Sie, dass Sie aufhören können, nach zwei Nullstellen zu suchen.