Sie können jede Linie, die Sie auf einer zweidimensionalen x-y-Achse grafisch darstellen können, durch eine lineare Gleichung darstellen. Einer der einfachsten algebraischen Ausdrücke ist eine lineare Gleichung, die die erste Potenz von x mit der ersten Potenz von y in Beziehung setzt. Eine lineare Gleichung kann eine von drei Formen annehmen: die Slop-Point-Form, die Slope-Intercept-Form und die Standardform. Sie können das Standardformular auf eine von zwei gleichwertigen Arten schreiben. Das erste ist:
Ax + By + C = 0
wobei A, B und C Konstanten sind. Der zweite Weg ist:
Ax + By = C
Beachten Sie, dass dies verallgemeinerte Ausdrücke sind und die Konstanten im zweiten Ausdruck nicht unbedingt mit denen im ersten übereinstimmen. Wenn Sie für bestimmte Werte von A, B und C den ersten Ausdruck in den zweiten umwandeln möchten, müssten Sie schreiben
Ax + By = -C
Herleitung der Standardform für eine lineare Gleichung
Eine lineare Gleichung definiert eine Linie auf der x-y-Achse. Wählen Sie zwei beliebige Punkte auf der Linie (x
m = \frac{∆y}{∆x} = \frac{y_2 - y_1}{ x_2 - x_1}
Nun lass (x1, ja1) ein besonderer Punkt sein (ein, b) und lass (x2, ja2) undefiniert sein, d. h. alle Werte vonxundja. Der Ausdruck für Steigung wird
m = \frac{y - b}{x - a}
was vereinfacht zu
m (x - a) = y - b
Dies ist die Steigungspunktform der Linie. Wenn statt (ein, b) wählst du den Punkt (0,b), wird diese Gleichung zumx = ja − b. Umstellen, um zu setzenjaallein auf der linken Seite ergibt die Steigungsabschnittsform der Geraden:
y = mx + b
Die Steigung ist normalerweise eine Bruchzahl, also sei sie gleich −EIN/B. Sie können diesen Ausdruck dann in die Standardform für eine Zeile umwandeln, indem Sie diexTerm und Konstante nach links und vereinfachend:
Ax + By = C
woC = Bboder
Ax + By + C = 0
woC = −Bb
Beispiel 1
In Standardform umwandeln:
y = \frac{3}{4}x + 2
4y = 3x + 2
4y - 3x = 2
3x - 4y = 2
Diese Gleichung ist in Standardform.EIN = 3, B= −2 undC = 2
Beispiel 2
Finden Sie die Standardformgleichung der Geraden, die durch die Punkte (-3, -2) und (1, 4) geht.
\begin{ausgerichtet} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &=\frac{1 - (-3)}{4 - 2} \\ &= \frac{4}{ 2 } \\ &= 2 \end{ausgerichtet}
Die generische Steigungspunktform ist
m (x - a) = y - b
Wenn Sie den Punkt (1, 4) verwenden, wird dies zu
2 (x - 1) = y - 4
2x - 2 - y + 4 = 0 \\ 2x - y + 2 = 0
Diese Gleichung ist in StandardformAxt + Durch + C= 0 wobeiEIN = 2, B= −1 undC = 2