Sie können jede Linie, die Sie auf einer zweidimensionalen x-y-Achse grafisch darstellen können, durch eine lineare Gleichung darstellen. Einer der einfachsten algebraischen Ausdrücke ist eine lineare Gleichung, die die erste Potenz von x mit der ersten Potenz von y in Beziehung setzt. Eine lineare Gleichung kann eine von drei Formen annehmen: die Slop-Point-Form, die Slope-Intercept-Form und die Standardform. Sie können das Standardformular auf eine von zwei gleichwertigen Arten schreiben. Das erste ist:
Ax + By + C = 0
wobei A, B und C Konstanten sind. Der zweite Weg ist:
Ax + By = C
Beachten Sie, dass dies verallgemeinerte Ausdrücke sind und die Konstanten im zweiten Ausdruck nicht unbedingt mit denen im ersten übereinstimmen. Wenn Sie für bestimmte Werte von A, B und C den ersten Ausdruck in den zweiten umwandeln möchten, müssten Sie schreiben
Ax + By = -C
Herleitung der Standardform für eine lineare Gleichung
Eine lineare Gleichung definiert eine Linie auf der x-y-Achse. Wählen Sie zwei beliebige Punkte auf der Linie (x
1, ja1) und (x2, ja2), können Sie die Steigung der Linie (m) berechnen. Per Definition ist es der "Anstieg über den Lauf" oder die Änderung der y-Koordinate dividiert durch die Änderung der x-Koordinate.m = \frac{∆y}{∆x} = \frac{y_2 - y_1}{ x_2 - x_1}
Nun lass (x1, ja1) ein besonderer Punkt sein (ein, b) und lass (x2, ja2) undefiniert sein, d. h. alle Werte vonxundja. Der Ausdruck für Steigung wird
m = \frac{y - b}{x - a}
was vereinfacht zu
m (x - a) = y - b
Dies ist die Steigungspunktform der Linie. Wenn statt (ein, b) wählst du den Punkt (0,b), wird diese Gleichung zumx = ja − b. Umstellen, um zu setzenjaallein auf der linken Seite ergibt die Steigungsabschnittsform der Geraden:
y = mx + b
Die Steigung ist normalerweise eine Bruchzahl, also sei sie gleich −EIN/B. Sie können diesen Ausdruck dann in die Standardform für eine Zeile umwandeln, indem Sie diexTerm und Konstante nach links und vereinfachend:
Ax + By = C
woC = Bboder
Ax + By + C = 0
woC = −Bb
Beispiel 1
In Standardform umwandeln:
y = \frac{3}{4}x + 2
4y = 3x + 2
4y - 3x = 2
3x - 4y = 2
Diese Gleichung ist in Standardform.EIN = 3, B= −2 undC = 2
Beispiel 2
Finden Sie die Standardformgleichung der Geraden, die durch die Punkte (-3, -2) und (1, 4) geht.
\begin{ausgerichtet} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &=\frac{1 - (-3)}{4 - 2} \\ &= \frac{4}{ 2 } \\ &= 2 \end{ausgerichtet}
Die generische Steigungspunktform ist
m (x - a) = y - b
Wenn Sie den Punkt (1, 4) verwenden, wird dies zu
2 (x - 1) = y - 4
2x - 2 - y + 4 = 0 \\ 2x - y + 2 = 0
Diese Gleichung ist in StandardformAxt + Durch + C= 0 wobeiEIN = 2, B= −1 undC = 2