Eigenschaften algebraischer Gleichungen

Gleichungen sind wahr, wenn beide Seiten gleich sind. Eigenschaften von Gleichungen veranschaulichen verschiedene Konzepte, die beide Seiten einer Gleichung gleich halten, egal ob Sie addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren. In der Algebra stehen Buchstaben für Zahlen, die Sie nicht kennen, und Eigenschaften werden in Buchstaben geschrieben, um zu beweisen, dass alle Zahlen, die Sie in sie einstecken, immer wahr sind. Sie können sich diese Eigenschaften als "Algebraregeln" vorstellen, die Sie verwenden können, um mathematische Probleme zu lösen.

Assoziative und kommutative Eigenschaften beide haben Formeln für Addition und Multiplikation. DasKommutative Eigenschaft der Additionsagt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge Sie zwei Zahlen addieren. 4 + 5 ist zum Beispiel dasselbe wie 5 + 4. Die Formel lautet:

Alle Zahlen, für die Sie einsteckeneinundbwird die Eigenschaft immer noch wahr machen.

DasKommutativeigenschaft der MultiplikationFormel lautet

Dies bedeutet, dass es beim Multiplizieren zweier Zahlen keine Rolle spielt, welche Zahl Sie zuerst eingeben. Sie erhalten immer noch 10, wenn Sie 2 × 5 oder 5 × 2 multiplizieren.

DasAssoziativeigenschaft der Additionsagt, dass es egal ist, welche Gruppierung Sie verwenden, wenn Sie zwei Zahlen gruppieren und hinzufügen und dann eine dritte Zahl hinzufügen. In Formelform sieht es aus wie

Beispielsweise

Wenn Sie zwei Zahlen multiplizieren und dann dieses Produkt mit einer dritten Zahl multiplizieren, spielt es keine Rolle, welche zwei Zahlen Sie zuerst multiplizieren. In Formelform ist dieAssoziativeigenschaft der Multiplikationsieht aus wie

Zum Beispiel vereinfacht sich (2 × 3)4 zu 6 × 4, was 24 entspricht. Wenn Sie 2 (3 × 4) gruppieren, haben Sie 2 × 12, und dies gibt Ihnen auch 24.

Dastransitive Eigenschaftsagt das wennein​ = ​bundb​ = ​c, dannein​ = ​c. Diese Eigenschaft wird häufig bei der algebraischen Substitution verwendet. Beispielsweise,

Wenn Sie wissen, dass diese beiden Werte einander gleich sind, können Sie nach solve auflösenx. Sobald du weißtx, kannst du auflösenjawenn erforderlich.

DasVerteilungseigenschaftermöglicht es Ihnen, Klammern loszuwerden, wenn es einen Begriff außerhalb davon gibt, wie 2(x− 4). Klammern in der Mathematik bedeuten Multiplikation, und etwas zu verteilen bedeutet, es zu verteilen. Um also die Verteilungseigenschaft zum Eliminieren von Klammern zu verwenden, multiplizieren Sie den Term außerhalb der Klammern mitjederBegriff in ihnen. Du würdest also 2 multiplizieren undxum 2 zu bekommenx, und Sie würden 2 und −4 multiplizieren, um −8 zu erhalten. Vereinfacht sieht das so aus:

Die Formel für die Verteilungseigenschaft lautet

Sie können auch die distributive Eigenschaft verwenden, um einen gemeinsamen Faktor aus einem Ausdruck herauszuziehen. Diese Formel ist

Zum Beispiel im Ausdruck 3x+ 9, beide Terme sind durch 3 teilbar. Ziehen Sie den Faktor außerhalb der Klammern und lassen Sie den Rest drin: 3(x​ + 3).

Dasadditive inverse Eigenschaftsagt, dass, wenn Sie eine Zahl mit ihrer inversen oder negativen Version hinzufügen, Sie Null erhalten. Beispiel: −5 + 5 = 0. In einem realen Beispiel, wenn Sie jemandem 5 USD schulden und dann 5 USD erhalten, haben Sie immer noch kein Geld, da Sie diese 5 USD geben müssen, um die Schulden zu begleichen. Die Formel lautet

Dasmultiplikative inverse Eigenschaftsagt, dass, wenn Sie eine Zahl mit einem Bruch mit einer Eins im Zähler und dieser Zahl im Nenner multiplizieren, Sie eins erhalten:

Wenn Sie 2 mit 1/2 multiplizieren, erhalten Sie 2/2. Jede Zahl über sich selbst ist immer 1.

​Eigenschaften der Negationdiktieren die Multiplikation negativer Zahlen. Wenn Sie eine negative und eine positive Zahl multiplizieren, ist Ihre Antwort negativ:

Wenn Sie zwei negative Zahlen multiplizieren, ist Ihre Antwort positiv:

Wenn Sie ein Negativ außerhalb einer Klammer haben, wird dieses Negativ an eine unsichtbare 1 angehängt. Diese −1 wird auf jeden Term innerhalb der Klammern verteilt. Die Formel lautet

Beispielsweise

denn die Multiplikation von -1 und -3 ergibt 3.

DasIdentitätseigenschaft der Additionbesagt, dass, wenn Sie eine beliebige Zahl und Null hinzufügen, Sie die ursprüngliche Zahl erhalten:

Beispielsweise,

Dasmultiplikative Eigenschaft von nullbesagt, dass, wenn Sie eine beliebige Zahl mit Null multiplizieren, Sie immer Null erhalten:

Beispielsweise

Verwendung dernull Produkteigenschaft,Sie können mit Sicherheit wissen, dass, wenn das Produkt zweier Zahlen null ist, eines der Vielfachen null ist. Die Formel besagt, dass

Eigenschaften von Gleichheiten besagen, dass Sie das, was Sie mit der einen Seite der Gleichung tun, mit der anderen tun müssen. DasAdditionseigenschaft der Gleichheitbesagt, dass, wenn Sie eine Zahl auf einer Seite haben, Sie diese zur anderen hinzufügen müssen. Beispielsweise,

DasSubtraktionseigenschaft der Gleichheitbesagt, dass, wenn Sie eine Zahl von einer Seite subtrahieren, Sie sie von der anderen subtrahieren müssen. Beispielsweise,

Das würde dir geben

undxwürde in beiden Gleichungen gleich 5 sein.

DasMultiplikationseigenschaft der Gleichheitbesagt, dass, wenn Sie eine Zahl mit einer Seite multiplizieren, Sie sie mit der anderen multiplizieren müssen. Mit dieser Eigenschaft können Sie Divisionsgleichungen lösen. Zum Beispiel, wenn

multipliziere beide Seiten mit 4 um. zu erhaltenx​ = 8.

DasTeilungseigenschaft der Gleichheitermöglicht es Ihnen, Multiplikationsgleichungen zu lösen, denn was Sie auf der einen Seite teilen, müssen Sie auf der anderen Seite teilen. Teilen Sie zum Beispiel

um 2 auf beiden Seiten, nachgebend