Ein Radikal ist im Grunde ein gebrochener Exponent und wird mit dem Radikalzeichen () bezeichnet. Der Ausdruckx2 bedeutet multiplizierenxvon selbst (x × x), aber wenn Sie den Ausdruck √. sehenx, Sie suchen nach einer Zahl, die mit sich selbst multipliziert gleichx. Ähnlich, 3√xbedeutet eine Zahl, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wirdzweimal,gleichx, und so weiter. Genauso wie Sie Zahlen mit dem gleichen Exponenten multiplizieren können, können Sie dasselbe mit Radikalen machen, solange die hochgestellten Zeichen vor den Radikalzeichen gleich sind. Du kannst zum Beispiel multiplizieren (√x × √x) um √(x2), was einfach gleich istx, und (3√x × 3√x) zu bekommen 3√(x2). Der Ausdruck (√x × 3√x) lässt sich nicht weiter vereinfachen.
Tipp Nr. 1: Denken Sie an die "Produkt zur Macht-Regel"
Beim Multiplizieren von Exponenten gilt:
(a)^x × (b)^x = (a × b)^x
Die gleiche Regel gilt bei der Multiplikation von Resten. Denken Sie daran, dass Sie ein Radikal als gebrochenen Exponenten ausdrücken können, um zu sehen, warum. Beispielsweise,
\sqrt{a} = a^{1/2}
oder ganz allgemein
\sqrt[x]{a} = a^{1/x}
Wenn Sie zwei Zahlen mit gebrochenen Exponenten multiplizieren, können Sie sie wie Zahlen mit ganzzahligen Exponenten behandeln, vorausgesetzt, die Exponenten sind gleich. Im Allgemeinen:
\sqrt[x]{a} × \sqrt[x]{b}= \sqrt[x]{a × b}
Beispiel:Multiplizieren Sie √25 × √400
\sqrt{ 25} × \sqrt{400} = \sqrt{25 × 400} = \sqrt{10.000}
Tipp #2: Vereinfachen Sie die Radikale, bevor Sie sie multiplizieren
Im obigen Beispiel sieht man das schnell
\sqrt{ 25} = \sqrt{5^2}=5
und das
\sqrt{400} = \sqrt{20^2}=20
und dass sich der Ausdruck auf 100 vereinfacht. Das ist die gleiche Antwort, die Sie erhalten, wenn Sie die Quadratwurzel von 10.000 nachschlagen.
In vielen Fällen, wie im obigen Beispiel, ist es einfacher, Zahlen unter den Wurzelzeichen zu vereinfachen, bevor Sie die Multiplikation durchführen. Wenn das Radikal eine Quadratwurzel ist, können Sie Zahlen und Variablen, die sich paarweise wiederholen, unter dem Radikal entfernen. Wenn Sie Kubikwurzeln multiplizieren, können Sie Zahlen und Variablen entfernen, die sich in Dreiereinheiten wiederholen. Um eine Zahl aus einem vierten Wurzelzeichen zu entfernen, muss die Zahl viermal wiederholt werden und so weiter.
Beispiele
1.Multiplizieren√18 × √16
Faktorisieren Sie die Zahlen unter den Wurzelzeichen und setzen Sie alle, die zweimal vorkommen, außerhalb der Wurzel.
\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = \sqrt{3 × 3} × 2 = 3\sqrt{2} \\ \sqrt{16} = \sqrt{4 × 4} = 4 \\ \ ,\\ \implies \sqrt{18} × \sqrt{16} = 3 \sqrt{2} × 4 = 12 \sqrt{2}
2. Multiplizieren
\sqrt[3]{32x^2 y^4} × \sqrt[3]{50x^3y}
Um die Kubikwurzeln zu vereinfachen, suchen Sie nach Faktoren innerhalb der Radikalzeichen, die in Dreiereinheiten vorkommen:
\sqrt[3]{32x^2y^4}= \sqrt[3]{(8 × 4)x^2y^4} = \sqrt[3]{[(2 × 2 × 2) × 4]x^ 2 (y × y × y) y} = 2y\sqrt[3]{4x^2y} \\ \,\\ \sqrt[3]{50 x^3y} = \sqrt[3]{50 (x × x × x) y} = x\sqrt[3]{50y}
Die Multiplikation wird
2y\sqrt[3]{4x^2y} × x\sqrt[3]{50y}
Multipliziert man ähnliche Terme und wendet die Product Raised-to-Power-Regel an, erhält man:
2xy × \sqrt[3]{200x^2y^2}