Wenn Sie sich zum ersten Mal mit Funktionen vertraut machen, müssen Sie sie möglicherweise als Maschine betrachten: Sie geben einen Wert ein,x, in die Funktion, und sobald es durch die Maschine verarbeitet wurde, ein anderer Wert – nennen wir ihnja– springt am anderen Ende heraus. Die Bandbreite der möglichenxEingaben, die durch die Maschine kommen können, um eine gültige Ausgabe zurückzugeben, wird als Domäne der Funktion bezeichnet. Wenn Sie also aufgefordert werden, den Bereich einer Funktion zu finden, müssen Sie wirklich herausfinden, welche möglichen Eingaben eine gültige Ausgabe zurückgeben würden.
Die Strategie zur Domänensuche
Wenn Sie nur über Funktionen und Domänen lernen, wird normalerweise davon ausgegangen, dass die Domäne einer Funktion "alle reellen Zahlen" ist. Also wenn du Wenn Sie die Domäne definieren möchten, ist es oft am einfachsten, Ihre Kenntnisse der Mathematik – insbesondere der Algebra – zu verwenden, um zu bestimmen, welche Zahlensind nichtgültige Mitglieder der Domäne. Wenn Sie also die Anweisungen "Finden Sie die Domain" sehen, ist es oft am einfachsten, sie in Ihrem Kopf als "Finden und entfernen Sie alle Zahlen, die
In den meisten Fällen läuft dies darauf hinaus, potenzielle Eingaben zu überprüfen (und zu eliminieren), die dazu führen würden, dass Brüche undefiniert werden. oder 0 im Nenner haben und nach möglichen Eingaben suchen, die negative Zahlen unter einer Quadratwurzel ergeben würden Schild.
Ein Beispiel für das Finden von Domänen
Betrachten Sie die Funktion
f(x) = \frac{3}{x - 2}
was wirklich bedeutet, dass jede Zahl, die Sie eingeben, anstelle von unten angezeigt wirdxauf der rechten Seite der Gleichung. Zum Beispiel, wenn Sie berechnet habenf(4) du hättest
f (4) = \frac{3}{4 - 2}
was zu 3/2 funktioniert.
Aber was ist, wenn Sie berechnet haben?f(2) oder mit anderen Worten, Eingabe 2 anstelle vonx? Dann hättest du
f (2) = \frac{3}{2 - 2}
was sich zu 3/0 vereinfacht, was ein undefinierter Bruch ist.
Dies veranschaulicht eine von zwei häufig vorkommenden Instanzen, die eine Zahl aus der Domäne einer Funktion ausschließen können. Wenn ein Bruch beteiligt ist und die Eingabe dazu führen würde, dass der Nenner dieses Bruchs Null ist, muss die Eingabe aus dem Bereich der Funktion ausgeschlossen werden.
Eine kleine Untersuchung wird dir zeigen, dass absolut jede Zahlaußer2 wird ein gültiges (wenn auch manchmal unordentliches) Ergebnis für die fragliche Funktion zurückgeben, sodass die Domäne dieser Funktion alle Zahlen außer 2 umfasst.
Ein weiteres Beispiel für das Finden einer Domain
Es gibt noch eine andere häufige Instanz, die mögliche Mitglieder eines Funktionsbereichs ausschließt: Eine negative Größe unter einem Quadratwurzelzeichen oder ein Radikal mit einem geraden Index. Betrachten Sie die Beispielfunktion
f (x) = \sqrt{5 - x}
Wennx≤ 5, dann ist die Menge unter dem Wurzelzeichen entweder 0 oder positiv und gibt ein gültiges Ergebnis zurück. Zum Beispiel, wennx= 4,5 hättest du
f (4,5) = \sqrt{5 - 4,5} = \sqrt{0,5}
die, obwohl unordentlich, immer noch ein gültiges Ergebnis zurückgibt. Und wennx= -10 hättest du
f(-10) = \sqrt{5 - (-10)} = \sqrt{5 + 10} = \sqrt{15}
was wiederum ein gültiges, wenn auch chaotisches Ergebnis zurückgibt.
Aber stell dir das vorx= 5.1. In dem Moment, in dem Sie auf Zehenspitzen über die Trennlinie zwischen 5 und allen größeren Zahlen schleichen, erhalten Sie eine negative Zahl unter dem Radikal:
f (5.1) = \sqrt{5 - 5.1} = \sqrt{-0.1}
Viel später in Ihrer Mathematik-Karriere werden Sie lernen, negative Quadratwurzeln zu verstehen, indem Sie ein Konzept verwenden, das imaginäre Zahlen oder komplexe Zahlen genannt wird. Aber im Moment schließt eine negative Zahl unter dem Wurzelzeichen diese Eingabe als gültiges Mitglied des Funktionsbereichs aus.
In diesem Fall also, weil eine beliebige Zahlx≤ 5 gibt ein gültiges Ergebnis für diese Funktion und eine beliebige Zahl zurückx> 5 gibt ein ungültiges Ergebnis zurück, die Domäne der Funktion sind alle Zahlenx ≤ 5.