Assoziative Eigenschaften, zusammen mit kommutativen und distributiven Eigenschaften, bilden die Grundlage für die algebraischen Werkzeuge, die verwendet werden, um Gleichungen zu manipulieren, zu vereinfachen und zu lösen. Diese Eigenschaften sind jedoch nicht nur im Mathematikunterricht nützlich, sondern erleichtern auch den Umgang mit alltäglichen mathematischen Problemen. Während es nur zwei assoziative Eigenschaften gibt, die assoziative Eigenschaft der Addition und die assoziative Eigenschaft der Subtraktion, sind zwei "pseudo"-assoziative Eigenschaften der Subtraktion und Division können mit ein wenig zusätzlichem Nachdenken verwendet werden.
Assoziationseigenschaft der Addition
Die assoziative Eigenschaft der Addition ermöglicht es Ihnen, bestimmte Teile einer Kette von Begriffen oder "Chunks", die hinzugefügt werden, neu zu gruppieren, ohne die Bedeutung oder Antwort zu ändern. Diese Gruppierung erfolgt durch Verschieben der Positionen der Klammern. Zum Beispiel könnte (3 + 4 + 5) + (7 + 6) mit der assoziativen Eigenschaft der Addition so geändert werden, dass sie wie folgt aussieht: (3+4) + (5 + 7 + 6). Sie können überprüfen, ob die Eigenschaft wahr ist, indem Sie die Reihenfolge der Operationen befolgen, die besagt, dass Operationen innerhalb von Klammern müssen zuerst gemacht werden und beachten, dass (12) + (13) gleich 25 ist, während (7) + (18) auch gleich 25.
Assoziativeigenschaft der Multiplikation
Die assoziative Eigenschaft der Multiplikation funktioniert genauso wie die der Addition, außer dass sie sich auf die Operation der Multiplikation bezieht. Es gilt also, dass Sie Klammern in einer Multiplikationsfolge ändern können, ohne das Ergebnis zu beeinflussen. Beispielsweise könnte (15 x 2) (3 x 4) (6 x 2) umgeschrieben werden als (15 x 2 x 3) (4 x 6 x 2) und Sie würden immer noch dieselbe Antwort erhalten. Mit dieser Eigenschaft können Sie auch mit der Multiplikation arbeiten, wenn es um Variablen und deren Koeffizienten geht. Zum Beispiel könnten Sie 4(3X) nicht ausführen, weil X eine Unbekannte ist, und Sie müssten entsprechend der Reihenfolge der Operationen zuerst 3 x X ausführen. Die assoziative Eigenschaft der Multiplikation ermöglicht es Ihnen jedoch, 4(3X) als (4x3)X umzuschreiben, was dann 12X ergibt.
Subtraktion
Es gibt keine assoziative Eigenschaft der Subtraktion. Sie können jedoch in einigen Fällen mit der Subtraktion arbeiten, indem Sie sie in "plus eine negative Zahl" ändern. Beispielsweise könnte (3X - 4X) + (13X - 2X - 6X) zuerst in (3X + -4X) + (13X +-2X + -6X) geändert werden. Dann können Sie die assoziative Eigenschaft der Addition anwenden, sodass sie wie folgt aussieht: (3X + -4X +13X) + (-2X + 6X). Dies funktioniert jedoch nicht, wenn sich das Subtraktionszeichen in der ursprünglichen Aufgabe zwischen den Klammern befindet. (Dafür wird die Verteilungseigenschaft benötigt).
Einteilung
Es gibt auch keine assoziative Eigenschaft der Division. Daher muss die Division als Multiplikation mit einem Kehrwert umgeschrieben werden. Wenn ein Ausdruck lautet: (5 x 7/3)(3/4 x 6) müssen Sie ihn ändern in: (5 x 7 x 1/3) x ( 3 x 1/4 x 6). Als nächstes könnten Sie die assoziative Eigenschaft verwenden, um es als (5 x 7) x (1/3 x 3 x 1/4 x 6) zu schreiben. Wie bei der Subtraktion können Sie diese Technik jedoch nicht verwenden, wenn das Divisionszeichen in Klammern steht.
