3 Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen

Die drei am häufigsten verwendeten Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen sind Substitution, Elimination und erweiterte Matrizen. Substitution und Elimination sind einfache Methoden, die die meisten Systeme aus zwei Gleichungen in wenigen einfachen Schritten effektiv lösen können. Das Verfahren der erweiterten Matrizen erfordert mehr Schritte, aber seine Anwendung erstreckt sich auf eine größere Vielfalt von Systemen.

Substitution ist eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen, indem alle Variablen bis auf eine in einer der Gleichungen entfernt und dann diese Gleichung gelöst werden. Dies wird erreicht, indem die andere Variable in einer Gleichung isoliert wird und dann Werte für diese Variablen in einer anderen anderen Gleichung eingesetzt werden. Um zum Beispiel das Gleichungssystem x + y = 4, 2x - 3y = 3 zu lösen, isoliere die Variable x im ersten Gleichung, um x = 4 - y zu erhalten, dann setze diesen Wert von y in die zweite Gleichung ein, um 2(4 - y) - 3y = zu erhalten 3. Diese Gleichung vereinfacht sich zu -5y = -5 oder y = 1. Setze diesen Wert in die zweite Gleichung ein, um den Wert von x zu ermitteln: x + 1 = 4 oder x = 3.

Elimination ist eine weitere Möglichkeit, Gleichungssysteme zu lösen, indem eine der Gleichungen in Bezug auf nur eine Variable umgeschrieben wird. Das Eliminationsverfahren erreicht dies, indem Gleichungen voneinander addiert oder subtrahiert werden, um eine der Variablen auszulöschen. Zum Beispiel ergibt das Addieren der Gleichungen x + 2y = 3 und 2x - 2y = 3 eine neue Gleichung, 3x = 6 (beachten Sie, dass die y-Terme wegfallen). Das System wird dann mit den gleichen Methoden wie bei der Substitution gelöst. Wenn es nicht möglich ist, die Variablen in den Gleichungen auszulöschen, muss die gesamte Gleichung mit einem Faktor multipliziert werden, damit die Koeffizienten übereinstimmen.

Erweiterte Matrizen können auch verwendet werden, um Gleichungssysteme zu lösen. Die erweiterte Matrix besteht aus Zeilen für jede Gleichung, Spalten für jede Variable und einer erweiterten Spalte, die den konstanten Term auf der anderen Seite der Gleichung enthält. Zum Beispiel ist die erweiterte Matrix für das Gleichungssystem 2x + y = 4, 2x - y = 0 [[2 1], [2 -1]...[4, 0]].

Der nächste Schritt beinhaltet die Verwendung elementarer Zeilenoperationen wie das Multiplizieren oder Dividieren einer Zeile mit einer anderen Konstanten als Null und das Addieren oder Subtrahieren von Zeilen. Das Ziel dieser Operationen besteht darin, die Matrix in eine Zeilenstufenform umzuwandeln, in der der erste von Null verschiedene Eintrag in jeder Zeile eine 1 ist über und unter diesem Eintrag sind alle Nullen, und der erste Eintrag ungleich Null für jede Zeile befindet sich immer rechts von all diesen Einträgen in den Zeilen über. Die Zeilenstufenform für die obige Matrix ist [[1 0], [0 1]...[1, 2]]. Der Wert der ersten Variablen ergibt sich aus der ersten Zeile (1x + 0y = 1 oder x = 1). Der Wert der zweiten Variablen ergibt sich aus der zweiten Zeile (0x + 1y = 2 oder y = 2).

Substitution und Elimination sind einfachere Methoden zum Lösen von Gleichungen und werden in der einfachen Algebra viel häufiger verwendet als erweiterte Matrizen. Die Substitutionsmethode ist besonders nützlich, wenn eine der Variablen bereits in einer der Gleichungen isoliert ist. Die Eliminationsmethode ist nützlich, wenn der Koeffizient einer der Variablen in allen Gleichungen gleich (oder sein negatives Äquivalent) ist. Der Hauptvorteil von erweiterten Matrizen besteht darin, dass sie verwendet werden können, um Systeme aus drei oder mehr Gleichungen in Situationen zu lösen, in denen Substitution und Elimination entweder nicht durchführbar oder unmöglich sind.