Die Menge der reellen Zahlen besteht aus allen Zahlen auf einem Zahlenstrahl. Teilmengen können beliebige Zahlensammlungen umfassen, aber die Elemente einer wichtigen Teilmenge sollten zumindest einige gemeinsame Merkmale aufweisen. Die meisten dieser Teilmengen sind nur für bestimmte Berechnungen nützlich, aber einige haben interessante Eigenschaften und helfen beim Verständnis der Funktionsweise des reellen Zahlensystems.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Zu den wichtigsten Teilmengen der Menge der reellen Zahlen zählen die rationalen und die irrationalen Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen kann in weitere Teilmengen unterteilt werden, darunter die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen. Andere Teilmengen der reellen Zahlen sind die geraden und ungeraden Zahlen, die Primzahlen und die perfekten Zahlen. Insgesamt gibt es unendlich viele Teilmengen der reellen Zahlen.
Teilmengen von reellen Zahlen im Allgemeinen
Für jede Menge, die eine Menge von n Elementen enthält, ist die Anzahl der Teilmengen 2
Viele dieser Teilmengen können beim Arbeiten mit dem reellen Zahlensystem und bei Berechnungen verwendet werden, sie sind jedoch nur für bestimmte Zwecke nützlich. Um beispielsweise den Preis mehrerer Pizzas für Freunde zu berechnen, kann nur die Teilmenge der Zahlen von zehn bis hundert von Interesse sein. Ein Außenthermometer kann nur die Teilmenge der Temperaturen von minus 40 bis plus 120 Grad Fahrenheit anzeigen. Die Arbeit mit solchen Teilmengen ist nützlich, da jedes Ergebnis außerhalb der erwarteten Teilmenge wahrscheinlich falsch ist.
Die allgemeineren Teilmengen der reellen Zahlen klassifizieren Zahlen nach ihren Eigenschaften, und diese Teilmengen haben daher einzigartige Eigenschaften. Das reelle Zahlensystem hat sich aus Teilmengen wie den natürlichen Zahlen entwickelt, die zum Zählen verwendet werden, und diese Teilmengen bilden die Grundlage für das Verständnis der Algebra.
Teilmengen, aus denen die reellen Zahlen bestehen
Die Menge der reellen Zahlen setzt sich aus den rationalen und den irrationalen Zahlen zusammen. Rationale Zahlen sind ganze Zahlen und Zahlen, die als Bruch ausgedrückt werden können. Alle anderen reellen Zahlen sind irrational und beinhalten Zahlen wie die Quadratwurzel aus 2 und die Zahl Pi. Da irrationale Zahlen als Teilmenge reeller Zahlen definiert sind, müssen alle irrationalen Zahlen reelle Zahlen sein.
Rationale Zahlen können in weitere Untermengen unterteilt werden. Die natürlichen Zahlen sind Zahlen, die in der Vergangenheit beim Zählen verwendet wurden, und sie sind die Folge 1, 2, 3 usw. Ganze Zahlen sind die natürlichen Zahlen plus Null. Ganzzahlen sind die ganzen Zahlen plus die negativen natürlichen Zahlen.
Andere Teilmengen der rationalen Zahlen umfassen Konzepte wie gerade, ungerade, Primzahlen und perfekte Zahlen. Gerade Zahlen sind ganze Zahlen mit 2 als Faktor; ungerade Zahlen sind alle anderen ganzen Zahlen. Primzahlen sind ganze Zahlen, die nur sich selbst und 1 als Faktoren haben. Perfekte Zahlen sind ganze Zahlen, deren Faktoren sich zur Zahl addieren. Die kleinste perfekte Zahl ist 6 und ihre Faktoren 1, 2 und 3 addieren sich zu 6.
Im Allgemeinen liefern Berechnungen mit reellen Zahlen Antworten mit reellen Zahlen, aber es gibt eine Ausnahme. Es gibt keine reelle Zahl, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, eine negative reelle Zahl als Antwort ergibt. Folglich kann die Quadratwurzel einer negativen reellen Zahl keine reelle Zahl sein. Die Quadratwurzeln negativer reeller Zahlen werden imaginäre Zahlen genannt und sind die Elemente einer Menge von Zahlen, die von den reellen Zahlen vollständig getrennt sind.
Das Studium der Teilmengen der reellen Zahlen ist Teil der Zahlentheorie und klassifiziert Zahlen, um das Verständnis der Funktionsweise der Zahlentheorie zu erleichtern. Die Kenntnis der Teilmengen reeller Zahlen und ihrer Eigenschaften ist eine gute Grundlage für weitere mathematische Studien.