Was bedeutet E in Mathematik?

Der Buchstabe E kann in der Mathematik zwei verschiedene Bedeutungen haben, je nachdem, ob es sich um ein großes E oder ein kleines e handelt. Normalerweise sehen Sie das Kapital E auf einem Taschenrechner, wo es bedeutet, die darauf folgende Zahl mit 10 zu potenzieren. Zum Beispiel würde 1E6 für 1 × 10. stehen⁶, oder 1 Mio. Normalerweise ist die Verwendung von E für Zahlen reserviert, die zu lang wären, um auf dem Rechnerbildschirm angezeigt zu werden, wenn sie mit der Hand geschrieben würden.

Mathematiker verwenden das kleine e für einen viel interessanteren Zweck – um die Eulersche Zahl zu bezeichnen. Diese Zahl ist wie π eine irrationale Zahl, da sie eine einmalige Dezimalzahl hat, die sich bis ins Unendliche erstreckt. Wie bei einer irrationalen Person scheint eine irrationale Zahl keinen Sinn zu ergeben, aber die Zahl, die e bezeichnet, muss keinen Sinn ergeben, um nützlich zu sein. Tatsächlich ist es eine der nützlichsten Zahlen in der Mathematik.

Sie benötigen keinen Taschenrechner, um mit E eine Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise auszudrücken. Sie können einfach E für die Basiswurzel eines Exponenten stehen lassen, aber nur, wenn die Basis 10 ist. Sie würden E nicht verwenden, um für die Basis 8, 4 oder eine andere Basis zu stehen, insbesondere wenn die Basis die Eulersche Zahl ist, e.

Wenn Sie E auf diese Weise verwenden, schreiben Sie die ZahlxEja, woxist die erste Menge von ganzen Zahlen in der Zahl undjaist der Exponent. Zum Beispiel würden Sie die Zahl 1 Million als 1E6 schreiben. In normaler wissenschaftlicher Schreibweise ist dies 1 × 10⁶, oder 1 gefolgt von 6 Nullen. Ähnlich wären 5 Millionen 5E6 und 42.732 4,27E4. Beim Schreiben einer Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise, egal ob Sie E verwenden oder nicht, runden Sie normalerweise auf zwei Dezimalstellen.

Die Zahl e wurde vom Mathematiker Leonard Euler als Lösung für ein Problem entdeckt, das ein anderer Mathematiker, Jacob Bernoulli, 50 Jahre zuvor gestellt hatte. Bernoullis Problem war ein finanzielles.

Angenommen, Sie legen 1.000 US-Dollar auf eine Bank, die 100 % jährliche Zinseszinsen zahlt, und belassen es dort für ein Jahr. Sie haben 2.000 $. Nehmen wir nun an, der Zinssatz ist halb so hoch, aber die Bank zahlt ihn zweimal im Jahr. Am Ende eines Jahres hättest du 2.250 Dollar. Nehmen wir nun an, die Bank zahlte nur 8,33 %, was 1/12 von 100 % ist, zahlte es aber 12 Mal im Jahr. Am Ende des Jahres hättest du 2.613 $. Die allgemeine Gleichung für diese Progression lautet:

wor1 ist und n die Zahlungsfrist ist.

Es stellt sich heraus, dass das Ergebnis, wenn sich n unendlich nähert, immer näher an e herankommt, was 2,7182818284 auf 10 Dezimalstellen entspricht. So hat Euler es entdeckt. Die maximale Rendite, die Sie mit einer Investition von 1.000 US-Dollar in einem Jahr erzielen könnten, wäre 2.718 US-Dollar.

Exponenten mit e als Basis werden als natürliche Exponenten bezeichnet, und hier ist der Grund. Wenn Sie einen Graphen von plot zeichnen

Sie erhalten eine exponentiell ansteigende Kurve, genau wie Sie die Kurve mit der Basis 10 oder einer anderen Zahl zeichnen würden. Allerdings ist die Kurveja= e^xhat zwei besondere Eigenschaften. Für jeden Wert vonx, der Wert vonjagleich dem Wert der Steigung des Graphen an diesem Punkt und gleich der Fläche unter der Kurve bis zu diesem Punkt. Dies macht e zu einer besonders wichtigen Zahl in der Infinitesimalrechnung und in allen Bereichen der Wissenschaft, die sich der Infinitesimalrechnung bedienen.

Die logarithmische Spirale, die durch die Gleichung dargestellt wird

kommt überall in der Natur vor, in Muscheln, Fossilien und Blumen. Darüber hinaus taucht es in zahlreichen wissenschaftlichen Zusammenhängen auf, unter anderem in der Untersuchung von Stromkreisen, den Gesetzen des Heizens und Kühlens und der Federdämpfung. Obwohl sie vor 350 Jahren entdeckt wurde, finden Wissenschaftler immer wieder neue Beispiele für die Eulersche Zahl in der Natur.