Dann segelst du durch deine Hausaufgaben... huh. Eine Ungleichung mit vielen negativen und absoluten Werten. Hilfe! Wann dreht man das Ungleichheitszeichen um?
Keine Angst! Es gibt einige Fälle, in denen Sie die Ungleichung umdrehen, und wir werden sie im Folgenden durchgehen.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Drehen Sie das Ungleichungszeichen um, wenn Sie beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren.
Außerdem müssen Sie beim Lösen von Ungleichungen mit absoluten Werten häufig das Ungleichungszeichen umkehren.
Multiplizieren und Dividieren von Ungleichungen durch negative Zahlen
Die Hauptsituation, in der Sie das Ungleichungszeichen umdrehen müssen, ist, wenn Sie beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren.
Betrachten Sie beispielsweise das folgende Problem:
3_x_ + 6 > 6_x_ + 12
Um das Problem zu lösen, müssen Sie alle x-es auf der gleichen Seite der Ungleichung. Subtrahiere 6_x_ von beiden Seiten, um nur zu haben x links.
3_x_ −6_x_ + 6 > 6_x_ −6_x_ + 12
−3_x_ + 6 > 12
Jetzt isolieren x auf der linken Seite, indem Sie die Konstante 6 auf die andere Seite der Ungleichung verschieben. Ziehen Sie dazu 6 von beiden Seiten ab.
− 3_x_ + 6 − 6 > 12 − 6
−3_x_ > 6
Teilen Sie nun beide Seiten der Ungleichung durch −3. Da Sie durch eine negative Zahl dividieren, müssen Sie das Ungleichungszeichen umdrehen.
−3_x_ (÷ −3) < 6 (÷ − 3)
x < − 2.
Die gleiche Regel würde gelten, wenn Sie beide Seiten mit einem Bruch multiplizieren. Multiplizieren und Dividieren sind die Umkehrungen desselben Vorgangs, ähnlich wie Addieren und Subtrahieren, daher gelten für beide die gleichen Regeln.
Absolutwertprobleme
Sie müssen auch daran denken, das Ungleichheitszeichen umzukehren, wenn Sie es mit zu tun haben Absolutwertprobleme.
Nehmen Sie das folgende Beispiel. Wenn Sie haben:
| 3_x_ | + 6 < 12,
Dann wollen Sie zunächst den Absolutwertausdruck auf der linken Seite der Ungleichung isolieren (er macht das Leben einfacher). Subtrahiere 6 von beiden Seiten, um zu erhalten:
| 3_x_ | < 6.
Jetzt müssen Sie diesen Ausdruck umschreiben als a zusammengesetzte Ungleichung. | 3_x_ | < 6 kann auf zwei Arten geschrieben werden:
3_x_ < 6 (die "positive" Version), oder
3_x_ > −6 (die "negative" Version).
Diese beiden Aussagen können auch in einer einzigen Zeile geschrieben werden:
−6 < 3_x_ < 6.
Die Ausgabe eines Absolutwertausdrucks ist immer positiv, aber die "x" innerhalb der Absolutwertzeichen können negativ sein, daher müssen wir den Fall berücksichtigen, wenn x ist negativ. Wir multiplizieren im Wesentlichen mit −1: wir multiplizieren x durch negativ eins links (aber da es innerhalb der Absolutwertzeichen ist, ist das Ergebnis immer noch positiv), und dann wir multiplizieren die rechte Seite mit negativ eins und vertauschen das Ungleichheitszeichen, weil wir gerade mit a multipliziert haben Negativ.
Das gibt uns unsere beiden Ungleichungen (oder unsere "zusammengesetzte Ungleichung"). Wir können beide leicht lösen.
3_x_ < 6 wird x < 2, wenn wir beide Seiten durch 3 teilen.
3_x_ > −6 wird zu x > −2 nachdem wir beide Seiten durch 3 dividieren.
Die Lösung ist also x < 2 und x > −2 oder −2 < x < 2.
Diese Art von Problemen erfordert etwas Übung, also machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie es zuerst nicht verstehen! Bleiben Sie dran und es wird irgendwann zur zweiten Natur.
