Wenige Dinge machen dem beginnenden Algebrastudenten Angst, wie Exponenten zu sehen – Ausdrücke wieja2, x3 oder sogar das erschreckendejax– Pop-up in Gleichungen. Um die Gleichung zu lösen, müssen Sie diese Exponenten irgendwie verschwinden lassen. Aber in Wahrheit ist dieser Prozess gar nicht so schwierig, wenn Sie eine Reihe einfacher Strategien erlernen, von denen die meisten in den grundlegenden arithmetischen Operationen verwurzelt sind, die Sie seit Jahren verwenden.
Vereinfachen und kombinieren Sie ähnliche Begriffe
Wenn Sie Glück haben, können Sie manchmal Exponenten in einer Gleichung haben, die sich gegenseitig aufheben. Betrachten Sie beispielsweise die folgende Gleichung:
y + 2x^2 - 5 = 2(x^2 + 2)
Mit einem scharfen Auge und ein wenig Übung können Sie feststellen, dass sich die Exponententerme tatsächlich gegenseitig aufheben, also:
Sobald Sie die rechte Seite der Beispielgleichung vereinfachen, werden Sie feststellen, dass auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens identische Exponententerme vorhanden sind:
y + 2x^2 - 5 = 2x^2 + 4
2. abziehenx2 von beiden Seiten der Gleichung. Da Sie auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Operation durchgeführt haben, haben Sie ihren Wert nicht geändert. Aber Sie haben den Exponenten effektiv entfernt und Sie haben:
y - 5 = 4
Wenn Sie möchten, können Sie die Gleichung nach. lösenjaindem Sie auf beiden Seiten der Gleichung 5 addieren, was Ihnen Folgendes ergibt:
y = 9
Oftmals sind Probleme nicht so einfach, aber es ist immer noch eine Gelegenheit, nach der es sich lohnt Ausschau zu halten.
Suchen Sie nach Möglichkeiten zum Factor
Mit der Zeit, Übung und viel Mathematikunterricht werden Sie Formeln zum Faktorisieren bestimmter Arten von Polynomen sammeln. Es ist ähnlich wie das Sammeln von Werkzeugen, die Sie in einer Werkzeugkiste aufbewahren, bis Sie sie brauchen. Der Trick besteht darin, zu lernen, welche Polynome leicht faktorisiert werden können. Hier sind einige der gängigsten Formeln, die Sie verwenden können, mit Beispielen für deren Anwendung:
Wenn Ihre Gleichung zwei quadrierte Zahlen mit einem Minuszeichen dazwischen enthält – zum Beispiel:x2 − 42 – Sie können sie mit der Formel faktorisierenein2 − b2 = (a + b) (a − b). Wenn Sie die Formel auf das Beispiel anwenden, ist das Polynomx2 − 42 Faktoren zu (x + 4)(x − 4).
Der Trick besteht darin, zu lernen, quadrierte Zahlen zu erkennen, auch wenn sie nicht als Exponenten geschrieben sind. Zum Beispiel das Beispiel vonx2 − 42 wird eher geschrieben alsx2 − 16.
Wenn Ihre Gleichung zwei Kubikzahlen enthält, die addiert werden, können Sie sie mit der Formel faktorisieren
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Betrachten Sie das Beispiel vonja3 + 23, die Sie eher als geschrieben sehenja3 + 8. Wenn Sie ersetzenjaund 2 in die Formel füreinundbbzw. haben Sie:
(y + 2) (y^2 - 2y + 2^2)
Offensichtlich ist der Exponent nicht ganz verschwunden, aber manchmal ist diese Art von Formel ein nützlicher Zwischenschritt, um ihn loszuwerden. Wenn Sie beispielsweise den Zähler eines Bruchs auf diese Weise einbeziehen, können Terme entstehen, die Sie dann mit Termen aus dem Nenner löschen können.
Wenn Ihre Gleichung zwei Kubikzahlen mit Eins enthältabgezogenAndererseits können Sie sie mit einer Formel faktorisieren, die der im vorherigen Beispiel sehr ähnlich ist. Tatsächlich ist die Position des Minuszeichens der einzige Unterschied zwischen ihnen, da die Formel für die Differenz der Würfel lautet:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Betrachten Sie das Beispiel vonx3 − 53, was eher geschrieben werden würde alsx3 − 125. Ersetzendxzumeinund 5 fürb, du erhältst:
(x - 5)(x^2 + 5x + 5^2)
Auch wenn dies den Exponenten nach wie vor nicht vollständig eliminiert, kann dies ein nützlicher Zwischenschritt auf dem Weg sein.
Ein Radikal isolieren und anwenden
Wenn keiner der oben genannten Tricks funktioniert und Sie nur einen Term haben, der einen Exponenten enthält, können Sie die gängigste Methode zum "loswerden" verwenden of" des Exponenten: Isolieren Sie den Exponententerm auf einer Seite der Gleichung und wenden Sie dann den entsprechenden Rest auf beide Seiten des Gleichung. Betrachten Sie das Beispiel von
z^3 - 25 = 2
Isolieren Sie den Exponententerm, indem Sie auf beiden Seiten der Gleichung 25 addieren. Dies gibt Ihnen:
z^3 = 27
Der Index der Wurzel, die Sie anwenden – das heißt die kleine hochgestellte Zahl vor dem Wurzelzeichen – sollte mit dem Exponenten übereinstimmen, den Sie entfernen möchten. Da der Exponententerm im Beispiel also ein Würfel oder eine dritte Potenz ist, müssen Sie eine Kubikwurzel oder eine dritte Wurzel anwenden, um sie zu entfernen. Dies gibt Ihnen:
\sqrt[3]{z^3} = \sqrt[3]{27}
Was wiederum vereinfacht zu:
z = 3