Der beste Weg, Polynome mit Brüchen zu faktorisieren, beginnt damit, die Brüche auf einfachere Terme zu reduzieren. Polynome stellen algebraische Ausdrücke mit zwei oder mehr Termen dar, genauer gesagt die Summe mehrerer Terme mit unterschiedlichen Ausdrücken derselben Variablen. Strategien, die bei der Vereinfachung von Polynomen helfen, beinhalten das Herausfiltern des größten gemeinsamen Faktors, gefolgt von der Gruppierung der Gleichung in ihre niedrigsten Terme. Das gleiche gilt auch beim Lösen von Polynomen mit Brüchen.
Polynome mit definierten Brüchen
Sie haben drei Möglichkeiten, die Phrasenpolynome mit Brüchen anzuzeigen. Die erste Interpretation befasst sich mit Polynomen mit Brüchen für Koeffizienten. In der Algebra ist der Koeffizient definiert als die Zahl oder Konstante, die vor einer Variablen gefunden wird. Mit anderen Worten, die Koeffizienten für 7_a_, b und (1/3)c sind 7, 1 bzw. (1/3). Zwei Beispiele für Polynome mit Bruchkoeffizienten wären daher:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 \text{ und } x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}
Die zweite Interpretation von „Polynomen mit Brüchen“ bezieht sich auf Polynome, die in Bruch oder Verhältnis vorliegen Form mit Zähler und Nenner, wobei das Zählerpolynom durch den Nenner geteilt wird Polynom. Diese zweite Interpretation wird beispielsweise veranschaulicht durch:
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2 + 11x + 18}
Die dritte Interpretation bezieht sich hingegen auf die Teilfraktionszerlegung, auch als Teilfraktionsexpansion bekannt. Manchmal sind Polynombrüche komplex, so dass, wenn sie „zerlegt“ oder „zerlegt“ werden in einfachere Terme werden als Summen, Differenzen, Produkte oder Quotienten von Polynomen dargestellt Brüche. Zur Veranschaulichung der komplexe Polynombruch von:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
wird durch Partialbruchzerlegung ausgewertet, die übrigens das Faktorisieren von Polynomen beinhaltet, in seiner einfachsten Form:
\bigg(\frac{3}{x+2}\bigg)+\bigg(\frac{5}{x-1}\bigg)
Grundlagen des Factoring – Verteilungseigenschaft und FOIL-Methode
Faktoren stellen zwei Zahlen dar, die zusammen multipliziert einer dritten Zahl entsprechen. In algebraischen Gleichungen bestimmt die Faktorisierung, welche zwei Größen miteinander multipliziert wurden, um ein gegebenes Polynom zu erhalten. Die Verteilungseigenschaft wird stark beachtet, wenn Polynome multipliziert werden. Die Verteilungseigenschaft erlaubt es im Wesentlichen, eine Summe zu multiplizieren, indem jede Zahl einzeln multipliziert wird, bevor die Produkte addiert werden. Beobachten Sie zum Beispiel, wie die Verteilungseigenschaft im Beispiel von angewendet wird:
7(10x + 5) \text{ um das Binomial von } 70x + 35 zu erhalten.
Wenn jedoch zwei Binome miteinander multipliziert werden, wird eine erweiterte Version der Verteilungseigenschaft über die FOIL-Methode verwendet. FOIL steht für das Akronym für First-, Outer-, Inner- und Last-Begriffe, die multipliziert werden. Daher erfordert das Faktorisieren von Polynomen die Ausführung des FOIL-Verfahrens rückwärts. Nehmen Sie die beiden oben genannten Beispiele mit den Polynomen, die Bruchkoeffizienten enthalten. Wenn Sie die FOIL-Methode für jeden von ihnen rückwärts ausführen, ergeben sich die Faktoren von
\bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
für das erste Polynom und die Faktoren von
\bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{2}\bigg)
für das zweite Polynom.
Beispiel:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 = \bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
Beispiel:
x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8} = \bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{ 2}\bigg)
Schritte beim Faktorisieren von Polynombrüchen
Von oben haben Polynombrüche ein Polynom im Zähler, das durch ein Polynom im Nenner geteilt wird. Das Auswerten von Polynombrüchen erfordert daher zuerst das Faktorisieren des Zählerpolynoms, gefolgt vom Faktorisieren des Nennerpolynoms. Es hilft, den größten gemeinsamen Faktor (GCF) zwischen Zähler und Nenner zu finden. Sobald der GCF von Zähler und Nenner gefunden ist, hebt er sich auf und reduziert letztendlich die gesamte Gleichung in vereinfachte Ausdrücke. Betrachten Sie das obige Beispiel für den ursprünglichen Polynombruch von
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18}
Die Faktorisierung der Zähler- und Nennerpolynome zum Ermitteln des GCF ergibt:
\frac{(x + 2)(x + 5)}{(x + 2)(x + 9)}
wobei der GCF (x + 2).
Die GCF sowohl im Zähler als auch im Nenner heben sich gegenseitig auf, um die endgültige Antwort in den niedrigsten Termen von (x + 5) ÷ (x + 9).
Beispiel:
\begin{ausgerichtet} \frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18} &= \frac{\cancel{(x + 2)}(x + 5)}{\cancel{( x + 2)}(x + 9)} \\ &=\frac{x + 5}{x + 9} \end{ausgerichtet}
Auswerten von Gleichungen durch partielle Fraktionszerlegung
Die partielle Bruchzerlegung, die Faktorisierung beinhaltet, ist eine Möglichkeit, komplexe polynomiale Bruchgleichungen in eine einfachere Form umzuschreiben. Wiederholen Sie das Beispiel von oben von
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
Vereinfachen Sie den Nenner
Vereinfachen Sie den Nenner, um zu erhalten:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)}
Den Zähler neu anordnen
Als nächstes ordnen Sie den Zähler neu an, sodass die GCFs im Nenner vorhanden sind, um Folgendes zu erhalten:
\begin{ausgerichtet} \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)} &= \frac{ 3x + 5x - 3 + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \ \ &= \frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \\ \end{ausgerichtet}
Für den linken Addend ist der GCF (x - 1), während für den rechten Addend der GCF (x + 2), die sich im Zähler und Nenner aufheben, wie in:
\frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{3\cancel{(x - 1)}}{(x + 2)\cancel{(x - 1)}} + \frac{5\cancel{(x + 2)}}{\cancel{(x + 2)}(x - 1) }
Wenn die GCFs storniert werden, lautet die endgültige vereinfachte Antwort daher:
\frac{3}{x + 2} + \frac{5}{x - 1}
als Lösung der Partialfraktionszerlegung.