Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die eine einzelne Variable enthält und in der die Variable quadriert wird. Die Standardform für diese Art von Gleichung, die bei der grafischen Darstellung immer eine Parabel erzeugt, istAxt2 + bx + c= 0, wobeiein, bundcsind Konstanten. Das Finden von Lösungen ist nicht so einfach wie bei einer linearen Gleichung, und ein Grund dafür ist, dass es aufgrund des quadrierten Terms immer zwei Lösungen gibt. Sie können eine von drei Methoden verwenden, um eine quadratische Gleichung zu lösen. Sie können die Terme faktorisieren, was bei einfacheren Gleichungen am besten funktioniert, oder Sie können das Quadrat vervollständigen. Die dritte Methode besteht darin, die quadratische Formel zu verwenden, die eine verallgemeinerte Lösung für jede quadratische Gleichung ist.
Die quadratische Formel
Für eine allgemeine quadratische Gleichung der FormAxt2 + bx + c= 0, die Lösungen sind durch diese Formel gegeben:
x = \frac{−b ±\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
Beachten Sie, dass das ±-Zeichen in den Klammern bedeutet, dass es immer zwei Lösungen gibt. Eine der Lösungen verwendet
\frac{−b +\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
und die andere Lösung verwendet
\frac{−b -\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
Verwenden der quadratischen Formel
Bevor Sie die quadratische Formel verwenden können, müssen Sie sicherstellen, dass die Gleichung in Standardform vorliegt. Es darf nicht sein. Etwasx2 Begriffe können auf beiden Seiten der Gleichung stehen, also müssen Sie diese auf der rechten Seite sammeln. Machen Sie dasselbe mit allen x-Termen und Konstanten.
Beispiel: Finden Sie die Lösungen der Gleichung
3x^2 - 12 = 2x (x -1)
Erweitern Sie die Klammern:
3x^2 - 12 = 2x^2 - 2x
2. abziehenx2 und von beiden Seiten. 2. hinzufügenxzu beiden Seiten
3x^2 - 2x^2 + 2x - 12 = 2x^2 -2x^2 -2x + 2x \\ 3x^2 - 2x^2 + 2x - 12 = 0 \\ x^2 - 2x -12 = 0
Diese Gleichung ist in StandardformAxt2 + bx + c= 0 wobeiein = 1, b= −2 undc = 12
Die quadratische Formel lautet
x = \frac{−b ±\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
Schon seitein = 1, b= −2 undc= −12, daraus wird
x = \frac{−(-2) ±\sqrt{(-2)^2 − 4×1×(-12)} }{2×1}
x = \frac{2 ±\sqrt{(4+ 48} }{2} \\ \,\\ x = \frac{2 ±\sqrt{52} }{2} \\ \,\\ x = \ frac{2 ±7,21 }{2} \\ \,\\ x = \frac{9.21}{2} \text{ und } x = \frac{−5.21}{2} \\ \,\\ x = 4,605 \text{ und } x = −2.605
Zwei andere Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen
Sie können quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen. Dazu erraten Sie mehr oder weniger ein Zahlenpaar, das addiert die Konstante. ergibtbund geben, wenn sie miteinander multipliziert werden, die Konstantec. Diese Methode kann schwierig sein, wenn Fraktionen beteiligt sind. und würde für das obige Beispiel nicht gut funktionieren.
Die andere Methode besteht darin, das Quadrat zu vervollständigen. Wenn Sie eine Gleichung in Standardform haben,Axt2 + bx + c= 0, setzecauf der rechten Seite und fügen Sie den Begriff (b/2)2 zu beiden Seiten. Auf diese Weise können Sie die linke Seite als (x + d)2, wodist eine Konstante. Sie können dann die Quadratwurzel von beiden Seiten ziehen und nach solve auflösenx. Auch hier ist die Gleichung im obigen Beispiel mit der quadratischen Formel einfacher zu lösen.