Algebra beinhaltet oft die Vereinfachung von Ausdrücken, aber einige Ausdrücke sind verwirrender als andere. Komplexe Zahlen beinhalten die als bekannte Größeich, eine „imaginäre“ Zahl mit der Eigenschaftich= √−1. Wenn Sie einfach einen Ausdruck mit einer komplexen Zahl formulieren müssen, mag dies entmutigend erscheinen, aber es ist ein recht einfacher Vorgang, sobald Sie die Grundregeln kennen.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Vereinfachen Sie komplexe Zahlen, indem Sie den Regeln der Algebra mit komplexen Zahlen folgen.
Was ist eine komplexe Zahl?
Komplexe Zahlen werden durch ihre Einbeziehung derichTerm, der die Quadratwurzel von minus eins ist. In der Grundmathematik gibt es Quadratwurzeln von negativen Zahlen nicht wirklich, aber sie tauchen gelegentlich in Algebraproblemen auf. Die allgemeine Form für eine komplexe Zahl zeigt ihren Aufbau:
z = a + bi
Wozbeschriftet die komplexe Zahl,einstellt eine beliebige Zahl dar (der „reale“ Teil genannt) undbstellt eine andere Zahl dar (genannt „imaginärer“ Teil), die beide positiv oder negativ sein können. Eine komplexe Beispielzahl ist also:
z = 2 −4i
Da alle Quadratwurzeln negativer Zahlen durch Vielfache von dargestellt werden könnenich, dies ist die Form für alle komplexen Zahlen. Technisch gesehen beschreibt eine reguläre Zahl nur einen Sonderfall einer komplexen Zahl, wobeib= 0, also könnten alle Zahlen als komplex angesehen werden.
Grundregeln für Algebra mit komplexen Zahlen
Um komplexe Zahlen zu addieren und zu subtrahieren, addieren oder subtrahieren Sie einfach den Real- und den Imaginärteil getrennt. Also für komplexe Zahlenz = 2 – 4ichundw = 3 + 5ich, die Summe ist:
\begin{ausgerichtet} z + w &= (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i \\ &= 5 + 1i \\ &= 5 + ich \end{ausgerichtet}
Das Subtrahieren der Zahlen funktioniert auf die gleiche Weise:
\begin{aligned} z- w &= (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ &= (2 - 3) + (-4 - 5)i \\ &= -1 -9i \end{aligned }
Multiplikation ist eine weitere einfache Operation mit komplexen Zahlen, da sie wie eine normale Multiplikation funktioniert, außer dass Sie sich daran erinnern müssenich2 = −1. Um also 3 zu berechnenich × −4ich:
3i × -4i = -12i^2
Aber seitich2= −1, dann:
-12i^2 = -12 ×-1 = 12
Mit vollen komplexen Zahlen (mitz = 2 – 4ichundw = 3 + 5ichwieder), multiplizieren Sie sie auf die gleiche Weise wie mit gewöhnlichen Zahlen wie (ein + b) (c + d), mit der Methode „first, inner, outside, last“ (FOIL), um (ein + b) (c + d) = ac + bc + Anzeige + bd. Alles, was Sie sich merken müssen, ist, alle Instanzen von simplify zu vereinfachenich2. Also zum Beispiel:
\begin{ausgerichtet} z × w &= (2 -4i)(3 + 5i) \\ &= (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ &= 6 -12i + 10i - 20i^2 \\ &= 6 -2i + 20 \\ &= 26 + 2i \end{ausgerichtet}
Komplexe Zahlen dividieren
Das Dividieren komplexer Zahlen beinhaltet das Multiplizieren des Zählers und Nenners des Bruchs mit der komplex Konjugierten des Nenners. Die komplex konjugiert bedeutet nur die Version der komplexen Zahl mit dem imaginären Teil mit umgekehrtem Vorzeichen. So fürz = 2 – 4ich, die komplex konjugiertz = 2 + 4ich, und fürw = 3 + 5ich, w = 3 −5ich. Für das Problem:
\frac{z}{w} = \frac{2 -4i}{3 + 5i}
Das benötigte Konjugat istw*. Dividiere Zähler und Nenner durch dies, um zu erhalten:
\frac{z}{w} = \frac{(2 -4i)(3 -5i)}{(3 + 5i)(3-5i)}
Und dann arbeiten Sie sich wie im vorherigen Abschnitt durch. Der Zähler gibt:
\begin{ausgerichtet} (2 -4i) (3 -5i) &= 6 -12i- 10i + 20i^2 \\ &= -14-22i \end{ausgerichtet}
Und der Nenner ergibt:
\begin{aligned} (3 + 5i)(3-5i) &= 9 + 15i - 15i -25i^2 \\ &= 9 + 25 \\ &= 34 \end{aligned}
Das heisst:
\begin{ausgerichtet} \frac{z}{w} &= \frac{-14 - 22i}{34} \\ \,\\ &= \frac{-14}{34} - \frac{22i}{ 34} \\ \,\\ &= \frac{-7}{17} -\frac{11i}{17} \end{ausgerichtet}
Komplexe Zahlen vereinfachen
Verwenden Sie die obigen Regeln nach Bedarf, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen. Beispielsweise:
z = \frac{(4 + 2i) + (2 -i)}{(2 + 2i)(2+i)}
Dies kann vereinfacht werden, indem man die Additionsregel im Zähler, die Multiplikationsregel im Nenner verwendet und dann die Division vervollständigt. Für den Zähler:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Für den Nenner:
\begin{ausgerichtet} (2 + 2i)(2+ i) &= 4 + 4i + 2i + 2i^2 \\ &= (4 -2) + 6i \\ &= 2 + 6i \end{ausgerichtet}
Wenn Sie diese wieder einsetzen, erhalten Sie:
z = \frac{6 + i}{2 + 6i}
Die Multiplikation beider Teile mit dem Konjugierten des Nenners ergibt:
\begin{ausgerichtet} z &= \frac{(6 + i) (2 - 6i)}{(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \,\\ &= \frac{12 + 2i -36i -6i^2}{4 + 12i -12i -36i^2} \\ \,\\ &= \frac{18 - 34i}{40} \\ \,\\ &= \frac{9 - 17i}{20} \\ \,\\ &= \ frac{9}{20} -\frac{17i}{20} \\ \end{ausgerichtet}
Das bedeutet alsozvereinfacht sich wie folgt:
\begin{ausgerichtet} z &= \frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2+ i)} \\ &= \frac{9}{20} -\frac {17i}{20} \\ \end{ausgerichtet}
