Eine Funktion drückt Beziehungen zwischen Konstanten und einer oder mehreren Variablen aus.. Zum Beispiel drückt die Funktion f (x) = 5x + 10 eine Beziehung zwischen der Variablen x und den Konstanten 5 und 10 aus. Als Ableitungen bekannt und als dy/dx, df (x)/dx oder f'(x) ausgedrückt, findet die Differentiation die Änderungsrate einer Variablen in Bezug auf eine andere – im Beispiel f (x) in Bezug auf x Die Differenzierung ist nützlich, um die optimale Lösung zu finden, dh die maximalen oder minimalen Bedingungen zu finden. Bezüglich der Differenzierungsfunktionen gibt es einige Grundregeln.
Differenzieren Sie eine konstante Funktion. Die Ableitung einer Konstanten ist Null. Wenn beispielsweise f (x) = 5 ist, dann ist f’(x) = 0.
Wenden Sie die Potenzregel an, um eine Funktion zu differenzieren. Die Potenzregel besagt, dass f (x) = x^n oder x hoch n, dann f'(x) = nx^(n - 1) oder x hoch (n - 1) und multipliziert mit Wenn beispielsweise f (x) = 5x ist, dann ist f'(x) = 5x^(1 - 1) = 5. Wenn f (x) = x^10 ist, dann gilt f'(x) = 9x^9; und wenn f (x) = 2x^5 + x^3 + 10, dann f'(x) = 10x^4 + 3x^2.
Finden Sie die Ableitung einer Funktion mit der Produktregel. Das Differential eines Produkts ist nicht das Produkt der Differentiale seiner einzelnen Komponenten: Wenn f (x) = uv, wobei u und v zwei separate Funktionen sind, dann ist f'(x) nicht gleich f'(u) multipliziert mit f'(v). Vielmehr ist die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen das erste mal die Ableitung der zweiten plus das zweite mal die Ableitung der ersten. Wenn beispielsweise f (x) = (x^2 + 5x) (x^3) ist, sind die Ableitungen der beiden Funktionen 2x + 5 bzw. 3x^2. Dann unter Verwendung der Produktregel f'(x) = (x^2 + 5x) (3x^2) + (x^3) (2x + 5) = 3x^4 + 15x^3 + 2x^4 + 5x ^3 = 5x^4 + 20x^3.
Berechnen Sie die Ableitung einer Funktion mit der Quotientenregel. Ein Quotient ist eine Funktion dividiert durch eine andere. Die Ableitung eines Quotienten ist gleich Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, dann geteilt durch den Nenner zum Quadrat. Wenn beispielsweise f (x) = (x^2 + 4x) / (x^3) ist, sind die Ableitungen der Zähler- und Nennerfunktionen 2x + 4 bzw. 3x^2. Dann unter Verwendung der Quotientenregel f'(x) = [(x^3) (2x + 4) - (x^2 + 4x) (3x^2)] / (x^3)^2 = (2x^ 4 + 4x^3 - 3x^4 - 12x^3) / x^6 = (-x^4 - 8x^3) / x^6.
Verwenden Sie gängige Derivate. Die Ableitungen üblicher trigonometrischer Funktionen, die Funktionen von Winkeln sind, müssen nicht aus den ersten Prinzipien abgeleitet werden – die Ableitungen von sin x und cos x sind cos x bzw. -sin x. Die Ableitung der Exponentialfunktion ist die Funktion selbst – f (x) = f’(x) = e^x, und die Ableitung der natürlichen logarithmischen Funktion ln x ist 1/x. Wenn beispielsweise f (x) = sin x + x^2 - 4x + 5 ist, dann f'(x) = cos x + 2x - 4.