Das Produkt zweier Skalargrößen ist ein Skalar, und das Produkt eines Skalars mit einem Vektor ist ein Vektor, aber was ist mit dem Produkt zweier Vektoren? Ist es ein Skalar oder ein anderer Vektor? Die Antwort ist, es könnte entweder sein!
Es gibt zwei Möglichkeiten, Vektoren miteinander zu multiplizieren. Eine besteht darin, ihr Punktprodukt zu nehmen, was einen Skalar ergibt, und die andere besteht darin, ihr Kreuzprodukt zu nehmen, was einen anderen Vektor ergibt. Welches Produkt zu verwenden ist, hängt vom jeweiligen Szenario und der gesuchten Menge ab.
DasSkalarproduktwird manchmal als bezeichnetSkalarproduktoderInnenprodukt. Geometrisch kann man sich das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren als eine Methode zur Multiplikation der Vektorwerte vorstellen, die nur die gleichgerichteten Beiträge zählt.
- Hinweis: Punktprodukte können negativ oder positiv sein, dieses Vorzeichen ist jedoch kein Richtungshinweis. Obwohl die Vektorrichtung in einer Dimension oft mit Vorzeichen angegeben wird, können skalare Größen auch Vorzeichen haben, die keine Richtungsindikatoren sind. Schulden sind nur eines von vielen Beispielen dafür.
Definition des Punktprodukts
Das Skalarprodukt von Vektorenein = (ax, einja)undb = (bx, bja)in einem kartesischen Standardkoordinatensystem ist wie folgt definiert:
\bold{a\cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Nimmt man das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst, ergibt sich eine interessante Beziehung:
\bold{a\cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = |\bold{a}|^2
Wo |ein| ist die Größe (Länge) voneinnach dem Satz des Pythagoras.
Eine weitere Punktproduktformel kann unter Verwendung des Kosinusgesetzes abgeleitet werden. Dies geschieht wie folgt:
Betrachten Sie Nicht-Null-Vektoreneinundbzusammen mit ihrem Differenzvektora - b. Ordne die drei Vektoren zu einem Dreieck an.
Das Kosinusgesetz aus der Trigonometrie sagt uns:
|\bold{ab}|^2 = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta )
Und mit der Definition des Punktprodukts erhalten wir:
|\bold{ab}|^2 = (\bold{ab})\cdot (\bold{ab}) = (a_x-b_X)^2 + (a_y-b_y)^2\\ = (a_x)^2 + (b_x)^2 - 2a_xb_x + (a_y)^2 + (b_y)^2 - 2a_yb_y\\ = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2\bold{a \cdot b}
Wenn beide Ausdrücke gleich gesetzt und dann vereinfacht werden, erhalten wir:
\cancel{|\bold{a}|^2} + \cancel{|\bold{b}|^2} - 2\bold{a\cdot b} = \cancel{|\bold{a}|^2 } + \cancel{|\bold{b}|^2} - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\text{}\\\impliziert \boxed{\bold{a\cdot b} = |\bold{a} ||\bold{b}|\cos(\theta)}
Diese Formulierung lässt unsere geometrische Intuition ins Spiel kommen. Die Menge |ein|cos (θ) ist der Betrag der Projektion von Vektoreinauf Vektorb.
Wir können uns das Skalarprodukt also als Projektion eines Vektors auf den anderen und dann als Produkt ihrer Werte vorstellen. Mit anderen Worten, es kann als das Produkt eines Vektors mit dem Betrag des anderen Vektors in derselben Richtung wie er selbst betrachtet werden.
Eigenschaften des Punktprodukts
Im Folgenden sind einige Eigenschaften des Punktprodukts aufgeführt, die Sie möglicherweise nützlich finden:
\#\Text 1. Wenn } \theta = 0\text{, dann } \bold{a\cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|
Dies liegt daran, dass cos (0) = 1 ist.
\#\text{2. Wenn } \theta = 180\text{, dann }\bold{a\cdot b} = -|\bold{a}||\bold{b}|
Dies liegt daran, dass cos (180) = -1 ist.
\#\text{3. Wenn } \theta = 90\text{, dann } \bold{a \cdot b} = 0
Dies liegt daran, dass cos (90) = 0 ist.
- Hinweis: Für 0 <
θ
< 90 ist das Skalarprodukt positiv und für 90 <
θ
< 180 ist das Punktprodukt negativ.
\#\text{4. } \bold{a\cdot b} = \bold{b\cdot a}
Dies folgt aus der Anwendung des Kommutativgesetzes auf die Punktproduktdefinition.
\#\text{5. } \bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdot c}
Beweis:
\bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a}\cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ =a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y)\\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y)\\ = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdotc}
\#\text{6. } c(\bold{a\cdot b}) = (c\bold{a})\cdot\bold{b}
Beweis:
c(\bold{a\cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y)\\ = ca_xb_x + ca_yb_y\\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y\\ = (c\bold{a})\cdot \ fett{b}
So finden Sie das Dot-Produkt
Beispiel 1:In der Physik die Arbeit einer KraftFauf einem Objekt, wenn es eine Verschiebung erfährtd, ist definiert als:
W=\bold{F}\cdot\bold{d} = |\bold{F}||\bold{d}|\cos(\theta)
Wobei θ der Winkel zwischen dem Kraftvektor und dem Verschiebungsvektor ist.
Die von einer Kraft geleistete Arbeit ist ein Hinweis darauf, wie viel diese Kraft zur Verschiebung beigetragen hat. Ist die Kraft in die gleiche Richtung wie die Verschiebung (cos (θ) = 0), leistet sie ihren maximalen Beitrag. Steht sie senkrecht zur Verschiebung (cos(Ѳ) = 90), leistet es überhaupt keinen Beitrag. Und wenn es der Verschiebung entgegengesetzt ist (cos (θ) = 180), leistet es einen negativen Beitrag.
Angenommen, ein Kind schiebt eine Spielzeugeisenbahn über ein Gleis, indem es eine Kraft von 5 N in einem Winkel von 25 Grad zur Gleislinie ausübt. Wie viel Arbeit verrichtet das Kind im Zug, wenn es 0,5 m bewegt?
Lösung:
F = 5 \text{ N}\\ d = 0,5\text{ m}\\ \theta = 25\degree\\
Unter Verwendung der Punktproduktdefinition von Arbeit und Einfügen von Werten erhalten wir dann:
W = Fd\cos(\theta) = 5\times0.5\times\cos (25) = \boxed{2.27\text{J}}
An diesem konkreten Beispiel sollte noch deutlicher werden, dass das Aufbringen einer Kraft senkrecht zur Verschieberichtung keine Wirkung hat. Wenn das Kind den Zug im rechten Winkel zum Gleis geschoben hat, fährt der Zug weder vorwärts noch rückwärts entlang des Gleises. Es ist auch intuitiv, dass die Arbeit des Kindes im Zug zunimmt, wenn der Winkel kleiner wird und Kraft und Verschiebung näher an der Ausrichtung sind.
Beispiel 2:Die Leistung ist ein weiteres Beispiel für eine physikalische Größe, die mit einem Punktprodukt berechnet werden kann. In der Physik ist Leistung gleich Arbeit geteilt durch Zeit, kann aber auch als Skalarprodukt von Kraft und Geschwindigkeit geschrieben werden, wie gezeigt:
P = \frac{W}{t} = \frac{\bold{F\cdot d}}{t} = \bold{F}\cdot \frac{\bold{d}}{t} = \bold{ F\cdot v}
Wovist die Geschwindigkeit.
Betrachten Sie das vorherige Beispiel des Kindes, das mit dem Zug spielt. Wenn uns stattdessen gesagt wird, dass die gleiche Kraft aufgebracht wird, wodurch der Zug mit 2 m/s das Gleis hinunterfährt, können wir das Punktprodukt verwenden, um die Leistung zu ermitteln:
P = \bold{F\cdot v} = Fv\cos(\theta) = 5\times2\times\cos (25) = 9,06\text{ Watts}
Beispiel 3:Ein weiteres Beispiel für die Verwendung von Punktprodukten in der Physik ist der magnetische Fluss. Magnetischer Fluss ist die Stärke des Magnetfelds, das durch einen bestimmten Bereich geht. Es wird als Skalarprodukt des Magnetfeldes gefundenBmit der GegendEIN. (Die Richtung eines Flächenvektors istnormal, oder senkrecht zur Oberfläche des Bereichs.)
\Phi=\bold{B\cdot A}
Angenommen, ein Feld von 0,02 Tesla geht durch eine Drahtschleife mit einem Radius von 10 cm und bildet einen Winkel von 30 Grad mit der Normalen. Was ist der Fluss?
\Phi=\bold{B\cdot A} = BA\cos(\theta) = 0.02\times(\pi\times0.1^2)\times\cos (30) = 0.000544\text{ Wb}
Wenn sich dieser Fluss ändert, entweder durch Ändern des Feldwerts, Ändern des Schleifenbereichs oder Ändern des Winkel durch Drehen der Schleife oder Feldquelle wird Strom in der Schleife induziert und erzeugt Elektrizität!
Beachten Sie wieder, wie der Winkel auf intuitive Weise relevant ist. Wenn der Winkel 90 Grad beträgt, würde dies bedeuten, dass das Feld in derselben Ebene wie die Fläche liegt und keine Feldlinien durch die Schleife gehen würden, was zu keinem Fluss führt. Die Flussmenge nimmt dann zu, je näher der Winkel zwischen dem Feld und der Normalen 0 wird. Mit dem Punktprodukt können wir bestimmen, wie viel des Feldes in der Richtung senkrecht zur Oberfläche liegt und somit zum Fluss beiträgt.
Vektorprojektion und das Punktprodukt
In früheren Abschnitten wurde erwähnt, dass man sich das Skalarprodukt als eine Möglichkeit vorstellen kann, einen Vektor auf einen anderen zu projizieren und dann ihre Größen zu multiplizieren. Daher sollte es nicht überraschen, dass aus dem Skalarprodukt eine Formel für die Vektorprojektion abgeleitet werden kann.
Um Vektor zu projiziereneinauf Vektorb, nehmen wir das Punktprodukt voneinmit einerEinheitsvektorin der Richtung vonb, und dann dieses Skalarergebnis mit dem gleichen Einheitsvektor multiplizieren.
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge 1, der in einer bestimmten Richtung liegt. Der Einheitsvektor in Richtung des Vektorsbist einfach Vektorbgeteilt durch seine Größe:
\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|}
Diese Projektion ist dann:
\text{Projektion von }\bold{a}\text{ auf }\bold{b} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} \Big)\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|^ 2}\Groß)\bold{b}
Das Punktprodukt in höheren Dimensionen
Genauso wie Vektoren in höheren Dimensionen existieren, existiert auch das Skalarprodukt. Stellen Sie sich das Beispiel des Kindes vor, das wieder den Zug schiebt. Angenommen, sie drückt sowohl nach unten als auch schräg zur Seite der Schiene. In einem Standardkoordinatensystem müssten die Kraft- und Verschiebungsvektoren dreidimensional dargestellt werden.
ImneinAbmessungen ist das Punktprodukt wie folgt definiert:
\bold{a\cdot b} = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n
Es gelten alle gleichen Produkteigenschaften des Punkts von vorhin, und das Kosinusgesetz gibt noch einmal die Beziehung an:
\bold{a\cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)
Wobei die Größe jedes Vektors wie folgt ermittelt wird, wiederum im Einklang mit dem Satz des Pythagoras:
|\bold{a}|=\sqrt{\bold{a\cdot a}}=\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_n)^2}
So finden Sie das Punktprodukt in drei Dimensionen
Beispiel 1:Das Punktprodukt ist besonders nützlich, wenn Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren finden müssen. Nehmen wir zum Beispiel an, wir wollen den Winkel zwischenein= (2, 3, 2) undb= (1, 4, 0). Selbst wenn Sie diese beiden Vektoren im 3-Raum skizzieren, kann es sehr schwierig sein, Ihren Kopf um die Geometrie zu wickeln. Aber die Mathematik ist ziemlich einfach und nutzt die Tatsache, dass:
\bold{a\cdot b}=|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\impliziert \theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\ fett{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Groß)
Berechnen Sie dann das Skalarprodukt voneinundb:
\bold{a\cdot b}=2\times1+3\times4+2\times0=14
Und die Größen jedes Vektors berechnen:
|\bold{a}|=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17}=4.12\\|\bold{b}|=\sqrt{1^2+4^ 2+0^2}=\sqrt{17}=4.12
Und wenn wir schließlich alles einstecken, erhalten wir:
\theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Big)=\cos^{- 1}\Big(\frac{14}{4.12\times 4.12}\Big)=\boxed{34.4\degree}
Beispiel 2:Am Koordinatenpunkt (3, 5, 4) sitzt im dreidimensionalen Raum eine positive Ladung. An welchem Punkt entlang der Linie zeigt in Richtung des Vektorsein= (6, 9, 5) ist das elektrische Feld am größten?
Lösung: Aus unserem Wissen über den Zusammenhang der elektrischen Feldstärke mit der Entfernung wissen wir, dass der Punkt Auf der Linie, die der positiven Ladung am nächsten ist, befindet sich die Stelle, an der das Feld die am stärksten. Aus unserem Wissen über Punktprodukte können wir vermuten, dass die Verwendung der Projektionsformel hier sinnvoll ist. Diese Formel sollte uns einen Vektor liefern, dessen Spitze genau an der gesuchten Stelle liegt.
Wir müssen berechnen:
\text{Projektion von }(3, 5, 4)\text{ auf }\bold{a}=\Big((3,5,4)\cdot\frac{\bold{a}}{|\bold{ a}|^2}\Groß)\bold{a}
Um dies zu tun, suchen wir zuerst |ein|2:
|\bold{a}|^2=6^2+9^2+5^2=142
Dann das Punktprodukt:
(3,5,4)\cdot (6,9,5)=3\times6+5\times9+4\times5=83
Dividiere dies durch |ein|2 ergibt 83/142 = 0,585. Dann multiplizieren Sie diesen Skalar miteingibt:
0.585\bold{a}=0.585\times (6,9,5)=(3.51,5.27,2.93)
Daher ist der Punkt entlang der Linie, an dem das Feld am stärksten ist, (3.51, 5.27, 2.93).