Stellen Sie sich einen Strom von Autos vor, der einen Straßenabschnitt ohne Auf- oder Abfahrrampen entlang fährt. Angenommen, die Autos können ihren Abstand überhaupt nicht ändern – sie halten irgendwie einen festen Abstand zueinander. Wenn dann ein Auto in der langen Schlange seine Geschwindigkeit ändert, werden alle Autos automatisch gezwungen, auf die gleiche Geschwindigkeit zu wechseln. Kein Auto könnte jemals schneller oder langsamer fahren als das Auto davor, und die Anzahl der Autos, die pro Zeiteinheit einen Punkt auf der Straße passieren, wäre an allen Punkten auf der Straße gleich.
Aber was ist, wenn der Abstand nicht festgelegt ist und der Fahrer eines Autos auf die Bremse tritt? Dies führt dazu, dass auch andere Autos langsamer werden und eine Region mit sich langsamer bewegenden, eng beieinander liegenden Autos entstehen kann.
Stellen Sie sich nun vor, Sie haben an verschiedenen Punkten der Straße Beobachter, deren Aufgabe es ist, die Anzahl der vorbeifahrenden Autos pro Zeiteinheit zu zählen. Ein Beobachter an einem Ort, an dem sich die Autos schneller bewegen, zählt die vorbeifahrenden Autos und kommt aufgrund des größeren Abstands zwischen den Autos immer noch auf die gleiche Anzahl von Autos pro Zeiteinheit wie ein Beobachter in der Nähe der Staustelle, denn obwohl die Autos langsamer durch den Stau fahren, sind sie näher beabstandet.
Der Grund, warum die Anzahl der Autos pro Zeiteinheit, die jeden Punkt entlang der Straße passieren, ungefähr konstant bleibt, läuft auf die Erhaltung der Fahrzeugzahl hinaus. Wenn eine bestimmte Anzahl von Autos pro Zeiteinheit einen bestimmten Punkt passiert, dann fahren diese Autos notwendigerweise weiter, um den nächsten Punkt in ungefähr der gleichen Zeit zu passieren.
Diese Analogie trifft den Kern der Kontinuitätsgleichung in der Fluiddynamik. Die Kontinuitätsgleichung beschreibt, wie Flüssigkeit durch Rohre fließt. Genau wie bei den Autos gilt ein Erhaltungsgrundsatz. Im Fall einer Flüssigkeit ist es die Massenerhaltung, die die Flüssigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit an jedem Punkt entlang des Rohres strömt, konstant zu halten, solange die Strömung konstant ist.
Was ist Fluiddynamik?
Die Fluiddynamik untersucht die Flüssigkeitsbewegung oder sich bewegende Flüssigkeiten im Gegensatz zur Flüssigkeitsstatik, bei der Flüssigkeiten untersucht werden, die sich nicht bewegen. Es ist eng mit den Bereichen Strömungsmechanik und Aerodynamik verwandt, aber enger gefasst.
Das WortFlüssigkeitbezieht sich oft auf eine Flüssigkeit oder ein inkompressibles Fluid, kann sich aber auch auf ein Gas beziehen. Im Allgemeinen ist eine Flüssigkeit jede Substanz, die fließen kann.
Die Fluiddynamik untersucht Muster in Fluidströmungen. Es gibt zwei Hauptarten, wie Flüssigkeiten zum Fließen gezwungen werden. Die Schwerkraft kann dazu führen, dass Flüssigkeiten bergab fließen oder Flüssigkeit aufgrund von Druckunterschieden fließen kann.
Kontinuitätsgleichung
Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass bei stetiger Strömung die an einem vorbeiströmende Flüssigkeitsmenge Punkt muss gleich der Flüssigkeitsmenge sein, die an einem anderen Punkt vorbeiströmt, oder der Massendurchfluss beträgt Konstante. Es ist im Wesentlichen eine Aussage über das Gesetz der Erhaltung der Masse.
Die explizite Kontinuitätsformel lautet:
\rho_1A_1v_1 = \rho_2A_2v_2
Woρist Dichte,EINist die Querschnittsfläche undvist die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids. Die Indizes 1 und 2 zeigen zwei verschiedene Regionen in derselben Pipe an.
Beispiele für die Stetigkeitsgleichung
Beispiel 1:Angenommen, Wasser fließt durch ein Rohr von 1 cm Durchmesser mit einer Fließgeschwindigkeit von 2 m/s. Wenn sich das Rohr auf einen Durchmesser von 3 cm erweitert, wie hoch ist die neue Durchflussmenge?
Lösung:Dies ist eines der grundlegendsten Beispiele, da es in einer inkompressiblen Flüssigkeit auftritt. In diesem Fall ist die Dichte konstant und kann von beiden Seiten der Kontinuitätsgleichung gelöscht werden. Sie müssen dann nur noch die Formel für die Fläche einsetzen und nach der zweiten Geschwindigkeit auflösen:
A_1v_1 = A_2v_2 \impliziert \pi (d_1/2)^2v_1 =\pi (d_2/2)^2v_2
Was vereinfacht zu:
d_1^2v_1 =d_2^2v_2 \impliziert v_2 = d_1^2v_1/d_2^2 = 0,22 \text{ m/s}
Beispiel 2:Angenommen, ein kompressibles Gas strömt durch ein Rohr. In einem Bereich des Rohres mit einer Querschnittsfläche von 0,02 m2, hat eine Fließgeschwindigkeit von 4 m/s und eine Dichte von 2 kg/m3. Welche Dichte hat es, wenn es durch einen anderen Bereich desselben Rohres mit einer Querschnittsfläche von 0,03 m. fließt?2 bei Geschwindigkeit 1 m/s?
Lösung:Mit der Kontinuitätsgleichung können wir nach der zweiten Dichte auflösen und Werte einsetzen:
\rho_2 = \rho_1 \frac{A_1v_1}{A_2v_2}=5,33 \text{kg/m}^3