Änderungsraten zeigen sich überall in der Wissenschaft und insbesondere in der Physik durch Größen wie Geschwindigkeit und Beschleunigung. Ableitungen beschreiben mathematisch die Änderungsrate einer Größe gegenüber einer anderen, aber berechnend sie können manchmal kompliziert sein, und Sie erhalten möglicherweise einen Graphen anstelle einer Funktion in Gleichung bilden. Wenn Ihnen ein Kurvendiagramm angezeigt wird und Sie die Ableitung daraus ermitteln müssen, können Sie möglicherweise nicht so genau sein wie mit einer Gleichung, aber Sie können leicht eine solide Schätzung vornehmen.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Wählen Sie einen Punkt im Diagramm aus, um den Wert der Ableitung zu ermitteln.
Zeichnen Sie an dieser Stelle eine gerade Tangente an die Kurve des Graphen.
Nehmen Sie die Steigung dieser Linie, um den Wert der Ableitung an Ihrem gewählten Punkt im Diagramm zu finden.
Außerhalb der abstrakten Einstellung der Differenzierung einer Gleichung sind Sie vielleicht etwas verwirrt, was eine Ableitung wirklich ist. In der Algebra ist eine Ableitung einer Funktion eine Gleichung, die Ihnen den Wert der „Steigung“ der Funktion an einem beliebigen Punkt angibt. Mit anderen Worten, es sagt Ihnen, um wie viel sich eine Menge ändert, wenn sich die andere geringfügig ändert. In einem Diagramm sagt Ihnen die Steigung oder Steigung der Linie, wie stark die abhängige Variable (auf dem
ja-Achse) ändert sich mit der unabhängigen Variablen (auf derx-Achse).Bei geradlinigen Graphen bestimmen Sie die (konstante) Änderungsrate, indem Sie die Steigung des Graphen berechnen. Beziehungen, die durch Kurven beschrieben werden, sind nicht so einfach zu handhaben, aber das Prinzip, dass die Ableitung nur die Steigung (an diesem bestimmten Punkt) bedeutet, gilt immer noch.
Bei durch Kurven beschriebenen Beziehungen nimmt die Ableitung an jedem Punkt entlang der Kurve einen anderen Wert an. Um die Ableitung des Graphen abzuschätzen, müssen Sie einen Punkt wählen, an dem die Ableitung gebildet wird. Wenn Sie beispielsweise ein Diagramm haben, das die zurückgelegte Strecke gegen die Zeit zeigt, würde die Steigung in einem geradlinigen Diagramm Ihnen die konstante Geschwindigkeit anzeigen. Bei Geschwindigkeiten, die sich mit der Zeit ändern, wäre der Graph eine Kurve, aber eine gerade Linie, die nur die Kurve an einem Punkt (eine Linie tangential zur Kurve) repräsentiert die Änderungsrate an diesem spezifischen Punkt.
Wählen Sie eine Stelle, an der Sie die Ableitung kennen müssen. Mit der zurückgelegten Strecke vs. Zeitbeispiel wählen Sie die Zeit aus, zu der Sie die Fahrgeschwindigkeit wissen möchten. Wenn Sie die Geschwindigkeit an mehreren verschiedenen Punkten kennen müssen, können Sie diesen Vorgang für jeden einzelnen Punkt durchlaufen. Wenn Sie die Geschwindigkeit 15 Sekunden nach Beginn der Bewegung wissen möchten, wählen Sie den Punkt auf der Kurve bei 15 Sekunden auf demx-Achse.
Zeichnen Sie eine Linie tangential zur Kurve an dem Punkt, an dem Sie interessiert sind. Nehmen Sie sich dabei Zeit, denn es ist der wichtigste und anspruchsvollste Teil des Prozesses. Ihre Schätzung wird besser, wenn Sie eine genauere Tangentenlinie zeichnen. Halten Sie ein Lineal bis zum Punkt auf der Kurve und passen Sie seine Ausrichtung so an, dass die Linie, die Sie zeichnen,nurBerühren Sie die Kurve an dem einzelnen Punkt, an dem Sie interessiert sind.
Zeichnen Sie Ihre Linie so lange, wie es die Grafik zulässt. Stellen Sie sicher, dass Sie zwei Werte für beide leicht ablesen könnenxundjaKoordinaten, eine in der Nähe des Anfangs Ihrer Linie und eine in der Nähe des Endes. Sie müssen nicht unbedingt eine lange Linie zeichnen (technisch ist jede gerade Linie geeignet), aber längere Linien sind in der Regel einfacher, die Neigung zu messen.
Suchen Sie zwei Stellen in Ihrer Leitung und notieren Sie sich diexundjaKoordinaten für sie. Stellen Sie sich zum Beispiel Ihre Tangente als zwei bemerkenswerte Punkte an. vorx = 1, ja= 3 undx = 10, ja= 30, die Sie Punkt 1 und Punkt 2 nennen können. Verwenden der Symbolex1 undja1 die Koordinaten des ersten Punktes darstellen undx2 undja2 um die Koordinaten des zweiten Punktes darzustellen, die Steigungichwird gegeben von:
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Dies gibt Ihnen die Ableitung der Kurve an dem Punkt an, an dem die Linie die Kurve berührt. Im Beispiel,x1 = 1, x2 = 10, ja1 = 3 undja2 = 30, also:
\begin{aligned} m &= \frac{30 - 3}{10 - 1} \\ \,\\ &= \frac{27}{9} \\ \,\\ &=9 \end{aligned}
Im Beispiel wäre dieses Ergebnis die Geschwindigkeit am gewählten Punkt. Also wenn diex-Achse wurde in Sekunden gemessen und dieja-Achse in Metern gemessen wurde, würde das Ergebnis bedeuten, dass das betreffende Fahrzeug mit 3 Metern pro Sekunde fährt. Unabhängig von der spezifischen Menge, die Sie berechnen, ist der Prozess der Schätzung des Derivats derselbe.