In der Mathematik ist eine Folge eine Reihe von Zahlen, die in auf- oder absteigender Reihenfolge angeordnet sind. Eine Folge wird zu einer geometrischen Folge, wenn Sie jede Zahl erhalten, indem Sie die vorherige Zahl mit einem gemeinsamen Faktor multiplizieren. Zum Beispiel die Serien 1, 2, 4, 8, 16... ist eine geometrische Folge mit dem gemeinsamen Faktor 2. Wenn Sie eine beliebige Zahl in der Reihe mit 2 multiplizieren, erhalten Sie die nächste Zahl. Im Gegensatz dazu die Sequenz 2, 3, 5, 8, 14, 22... ist nicht geometrisch, da es keinen gemeinsamen Faktor zwischen Zahlen gibt. Eine geometrische Folge kann einen gebrochenen gemeinsamen Faktor haben, wobei jede aufeinanderfolgende Zahl kleiner ist als die ihr vorangehende. 1, 1/2, 1/4, 1/8... ist ein Beispiel. Sein gemeinsamer Faktor ist 1/2.
Die Tatsache, dass eine geometrische Folge einen gemeinsamen Faktor hat, ermöglicht es Ihnen, zwei Dinge zu tun. Die erste besteht darin, ein beliebiges zufälliges Element in der Sequenz zu berechnen (die Mathematiker gerne das "
Das n-te Element in einer geometrischen Reihe finden
Im Allgemeinen können Sie jede geometrische Reihe wie folgt darstellen:
a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 +.. .
wo "ein" ist der erste Begriff in der Reihe und "r“ ist der gemeinsame Faktor. Um dies zu überprüfen, betrachten Sie die Reihe, in derein= 1 undr= 2. Sie erhalten 1 + 2 + 4 + 8 + 16... Es klappt!
Nachdem dies festgestellt wurde, ist es nun möglich, eine Formel für den n-ten Term in der Folge abzuleiten (xnein).
x_n = ar^{(n-1)}
Der Exponent istnein− 1 stattneindamit der erste Term in der Folge geschrieben werden kann alsar0, was gleich "ein."
Überprüfen Sie dies, indem Sie den 4. Term in der Beispielserie berechnen.
x_4 = (1) × 2^3 = 8
Berechnung der Summe einer geometrischen Folge Sequ
Wenn Sie eine divergente Folge summieren möchten, die ein gemeinsames Verhältnis größer als 1 oder kleiner als -1 hat, können Sie dies nur bis zu einer endlichen Anzahl von Termen tun. Es ist jedoch möglich, die Summe einer unendlichen konvergenten Folge zu berechnen, die ein gemeinsames Verhältnis zwischen 1 und − 1 hat.
Um die geometrische Summenformel zu entwickeln, überlegen Sie zunächst, was Sie tun. Sie suchen die Summe der folgenden Reihen von Ergänzungen:
a + ar + ar^2 + ar^3 +... + ar^{(n-1)}
Jeder Begriff in der Reihe istark, undkgeht von 0 bisnein− 1. Die Formel für die Summe der Reihe verwendet das große Sigma-Zeichen – ∑ – was bedeutet, dass alle Terme aus (k= 0) bis (k = nein − 1).
\sum_k^{n-1} ar^k = a\bigg(\frac{1 - r^n}{1 - r}\bigg)
Um dies zu überprüfen, betrachte die Summe der ersten 4 Terme der geometrischen Reihe, die bei 1 beginnt und einen gemeinsamen Faktor von 2 hat. In der obigen Formel giltein = 1, r= 2 undnein= 4. Wenn Sie diese Werte einstecken, erhalten Sie:
1 \bigg(\frac{1 - 2^4}{1 - 2}\bigg) = 15
Dies ist leicht zu überprüfen, indem Sie die Zahlen in der Reihe selbst hinzufügen. Wenn Sie die Summe einer geometrischen Reihe benötigen, ist es normalerweise einfacher, die Zahlen selbst hinzuzufügen, wenn nur wenige Terme vorhanden sind. Wenn die Reihe jedoch eine große Anzahl von Termen enthält, ist es viel einfacher, die geometrische Summenformel zu verwenden.