Wie man das Volumen von fünfeckigen Prismen berechnet

EIN Prisma kann ein eleganter Dekorationsgegenstand sein, ein Werkzeug in der Physik oder einfach nur ein verführerisches geometrisches Konstrukt, das auch noch nützlich ist. Das menschliche Auge und der Geist haben einen Drang nach Symmetrie in Kunst und Natur und finden Anziehungskraft in dreidimensionalen Formen, die regelmäßig, facettenreich sind und Licht sowohl durchlassen als auch reflektieren.

Objekte mit a Menge der Seiten – zum Beispiel ein Dodekaeder, dessen Oberfläche aus 12 identischen fünfseitigen Flächen besteht – macht Spaß, aber die Mathematik, die ihrer Geometrie zugrunde liegt, kann bestenfalls mühsam sein.

Ein fünfseitiges (d. h. fünfeckiges) Prisma ist ein nützlicher Ausgangspunkt für Schüler, die lernen möchten, die Volumina von regelmäßigen Polyeder, von denen Prismen einer von vielen gängigen Typen und einer unendlichen Anzahl von theoretischen Typen sind.

"Polyhedra" klingt vielleicht wie ein Monster aus der Welt der griechischen Mythologie. Tatsächlich ist der "griechische" Teil davon richtig: Das Wort

Ein Polyeder ist ein dreidimensionaler Körper, der aus ebenen Flächen besteht. Die Fläche, auf der ein Polyeder "ruhend" abgebildet ist, ist seine Basis, die mit allen, einigen oder keiner der anderen Gesichter identisch sein kann. Das einfachste Beispiel ist a Pyramide, die vier dreieckige Flächen hat. Ein Würfel hat sechs identische Seiten und ist ein Sonderfall von a Quader, das ist jede sechsseitige Figur, die aus rechten Winkeln besteht.

EIN Prisma ist ein Polyeder, das durch "Schieben" entstanden sein könnte Polygon, oder zweidimensionale Figur mit drei oder mehr Winkeln, in einer geraden Linie durch den Raum, um zwei Enden zu bilden und diese durch so viele parallele Ebenen zu verbinden, wie das Prisma Seiten hat. Das einfachste Prisma besteht aus zwei gleichseitigen Dreiecken mit parallel zueinander verlaufenden Flächen und getrennt durch drei identische rechteckige Flächen, die in einem 60-Grad-Winkel zu ihren Nachbarn ausgerichtet sind Gesichter.

EIN fünfeckiges Prisma dasselbe wurde um zwei zusätzliche Winkel und zwei weitere Gesichter erweitert. Es umfasst somit zwei fünfeckige Basen und fünf rechteckige Seiten. Es ist daher a siebenflächig, weil es sieben Seiten hat (hepta- ist ein Grrek-Präfix und bedeutet "sieben").

Die Fläche eines regelmäßigen Vielecks (d. h. eines, bei dem alle Winkel und Seiten identisch sind) mit Seitenlänge so ist aus der Formel zu entnehmen:

A = (n)(s²)/[4 tan (180/n)]

Für ein Fünfeck (n = 5) reduziert sich dies auf:

A = 5s²/2.91 = 1.72s²

Wenn Sie ein fünfeckiges Prisma aus Pappe "entfalten" oder "abflachen" würden, würden Sie zwei identische Fünfeckflächen (die Basen des Prismas) und fünf identische rechteckige Flächen erhalten.

Zwei Seiten jedes Rechtecks ​​werden mit Seiten der Fünfecke geteilt; Nenne diese Länge so. Wenn Sie die anderen beiden Seiten beschriften (die so kurz oder lang sein können, wie Sie möchten, zumindest theoretisch) ha, dann ist die Fläche jeder rechteckigen Seite Sch, und die Fläche aller Seiten zusammen ist 5sh.

Es gibt zwei fünfeckige Flächen, daher beträgt die Gesamtfläche eines fünfeckigen Prismas:

A = 5(sh) + 2(1,72s²) = 5(sh) + 3,44s²

Für jedes Standardprisma ist das Volumen nur die Fläche der Basis mal der Höhe. Das bedeutet Multiplikation mit 1,72s², der Wert für die Fläche eines Fünfecks aus der vorherigen Gleichung, um die Höhe ha in welchen Einheiten Sie verwenden. Die Volumenformel lautet:

V = 1,72 s²ha

Wenn Sie beispielsweise ein großes fünfeckiges Prisma mit einer Höhe von 30 cm (0,3 m) und einer Seitenlänge von 10 cm (0,1 m) haben, beträgt die Fläche:

A = 5(sh) + 2(1,72s²) = 5(0,3 m)(0,1 m) + 2(1,72)(0,1 m)²

= 0,15 + 0,0344 = 0,1844 m²

Das Volumen ergibt sich aus:

V = (1,72) (0,1 m)²(0,3 m) = 0,00516 = 5,16 × 10^-3 ich³