Sowohl in der Mathematik als auch im wirklichen Leben gibt es Zeiten, in denen es hilfreich ist, die Position eines Objekts im Vergleich zu einem Fixpunkt zu kennen. Wenn sich dieser Fixpunkt auf dem Horizont oder einer anderen horizontalen Linie befindet, müssen Sie möglicherweise den Elevations- oder Depressionswinkel für das Objekt berechnen. Wenn das verwirrend klingt, machen Sie sich keine Sorgen. Diese Winkel sind nur Hinweise darauf, wo sich ein Objekt oder ein Punkt über oder unter diesem Horizont befindet.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Elevations- und Senkenwinkel sind Winkel, die von einem Punkt auf einer horizontalen Linie ansteigen (Elevation) oder fallen (Depression). Berechnen Sie sie, indem Sie ein rechtwinkliges Dreieck annehmen und Sinus, Cosinus oder Tangens verwenden.
Was ist ein Elevationswinkel?
Der Höhenwinkel eines Punktes oder Objekts ist der Winkel, in dem Sie eine Linie ziehen würden, um den Punkt von einem einzelnen Punkt (oft als "Beobachter" bezeichnet) auf einer horizontalen Linie zu schneiden. Wenn Sie einen Punkt auf der x-Achse eines Gitters auswählen und von diesem Punkt zu einem anderen Punkt eine Linie ziehen irgendwo oberhalb der x-Achse wäre der Winkel dieser Linie im Vergleich zur x-Achse selbst der Winkel von Elevation. In einem realen Szenario könnte der Höhenwinkel als der Winkel angesehen werden, den Sie im Vergleich zum Boden um Sie herum betrachten würden, wenn Sie in den Himmel blicken, um einen fliegenden Vogel zu sehen.
Was ist ein Depressionswinkel?
Im Gegensatz zum Höhenwinkel ist der Neigungswinkel der Winkel, in dem Sie eine Linie von einem Punkt auf einer horizontalen Linie ziehen würden, um einen anderen Punkt zu schneiden, der unterhalb der Linie liegt. Wenn Sie das Beispiel der x-Achse von oben verwenden, müssen Sie für den Depressionswinkel einen Punkt auf der x-Achse auswählen und eine Linie von diesem zu einem anderen Punkt ziehen, der sich irgendwo unterhalb der x-Achse befindet. Der Winkel dieser Linie im Vergleich zur x-Achse selbst wäre der Depressionswinkel. Stellen Sie sich im Vogelszenario vor, wie der Vogel selbst entlang einer imaginären horizontalen Ebene fliegt. Der Winkel, in dem der Vogel nach unten schauen würde und Sie auf dem Boden stehen sieht, wäre der Neigungswinkel.
Berechnung der Winkel
Um den Elevations- oder Depressionswinkel für ein Objekt von einem beliebigen Punkt auf einer horizontalen Linie zu berechnen, Nehmen Sie an, dass der Beobachter und der beobachtete Punkt oder das beobachtete Objekt die beiden nicht rechten Ecken eines Rechts bilden Dreieck. Die Hypotenuse des Dreiecks ist die Linie, die zwischen den beiden Punkten (Beobachter und Beobachtet) gezogen wird, und dem rechten Winkel von das Dreieck entsteht durch Ziehen einer vertikalen Linie vom beobachteten Punkt zur horizontalen Linie, auf der der Betrachter steht auf. Berechnen Sie den Winkel für die vom Beobachter markierte Ecke aus der Höhe des beobachteten Objekts (im Vergleich zum horizontale Linie, auf der sich der Beobachter befindet) und seinen Abstand zum Beobachter (gemessen entlang der horizontalen Linie), um die Berechnung. Mit der Höhe und Entfernung können Sie den Satz des Pythagoras verwenden (ein2 + b2 = c2) um die Hypotenuse des Dreiecks zu berechnen.
Sobald Sie die Höhe, Entfernung und Hypotenuse haben, verwenden Sie Sinus, Cosinus oder Tangens wie folgt:
\sin(x) = \frac{\text{Höhe}}{\text{Hypotenuse}}
\cos(x) = \frac{\text{Entfernung}}{\text{Hypotenuse}}
\tan(x) = \frac{\text{Höhe}}{\text{Entfernung}}
Dadurch erhalten Sie das Verhältnis der beiden Seiten, die Sie ausgewählt haben. Von hier aus können Sie den Winkel berechnen, indem Sie die Umkehrfunktion der Funktion verwenden, die Sie gewählt haben, um das Anfangsverhältnis (sin-1, weil-1 oder braun-1). Geben Sie die entsprechende Umkehrfunktion (und Ihr Verhältnis von zuvor) in einen Taschenrechner ein, um Ihren Winkel (θ) zu erhalten, wie hier zu sehen:
\sin^{-1}(x) = θ \\ \cos^{-1}(x) = θ \\ \tan^{-1}(x) = θ
Punkt-/Beobachterkongruenz
In den meisten Fällen können Sie davon ausgehen, dass die Höhen- und Senkenwinkel zwischen einem Punkt oder Objekt und seinem Beobachter deckungsgleich sind. Sowohl der Punkt als auch sein Beobachter existieren auf horizontalen Linien, von denen angenommen wird, dass sie parallel sind. Als Ergebnis wäre der Winkel, in dem Sie auf einen Vogel aufblicken, derselbe Winkel, in dem er auf Sie herabblickt, gemessen an parallelen horizontalen Linien, die von Ihnen und dem Vogel ausgehen. Dies gilt jedoch nicht, wenn Linienkrümmung oder radiale Bahnen berücksichtigt werden.
