Die Beherrschung der Konzepte von Sinus und Kosinus ist ein wesentlicher Bestandteil der Trigonometrie. Aber sobald Sie diese Ideen im Griff haben, werden sie zu den Bausteinen für andere nützliche Werkzeuge in der Trigonometrie und später in der Analysis. Das "Gesetz des Kosinus" ist beispielsweise eine spezielle Formel, mit der Sie die fehlende Seite eines Dreiecks finden können, wenn Sie wissen die Länge der anderen beiden Seiten plus den Winkel zwischen ihnen, oder um die Winkel eines Dreiecks zu finden, wenn Sie alle drei kennen Seiten.
Das Gesetz des Kosinus
Das Kosinusgesetz gibt es in mehreren Versionen, je nachdem, mit welchen Winkeln oder Seiten des Dreiecks Sie es zu tun haben:
a^2 = b^2 + c^2 – 2bc × \cos (A) \\ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac × \cos (B) \\ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab × \cos(C)
In jedem Fall,ein, bundcsind die Seiten eines Dreiecks undEIN, B, oderCist der Winkel gegenüber der Seite desselben Buchstabens. SoEINist der Winkel gegenüber der Seitea, Bist der Winkel gegenüber der Seite
b, undCist der Winkel gegenüber der Seitec. Dies ist die Form der Gleichung, die Sie verwenden, wenn Sie die Länge einer der Seiten des Dreiecks ermitteln.Das Kosinusgesetz kann auch in Versionen umgeschrieben werden, die es einfacher machen, jeden der drei Winkel des Dreiecks zu finden, vorausgesetzt, Sie kennen die Längen aller drei Seiten des Dreiecks:
cos (A) = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \\ \,\\ cos (B) = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{ 2ac} \\ \,\\ cos (C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
Auflösen nach einer Seite
Um das Kosinusgesetz zu verwenden, um nach der Seite eines Dreiecks aufzulösen, benötigen Sie drei Informationen: die Längen der anderen beiden Seiten des Dreiecks plus den Winkel zwischen ihnen. Wählen Sie die Version der Formel aus, bei der sich die gesuchte Seite links von der Gleichung befindet und die Informationen, die Sie bereits haben, rechts. Wenn Sie also die Seitenlänge ermitteln möchtenein, du würdest die Version verwenden
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc × \cos(A)
Setze die Werte der beiden bekannten Seiten und den Winkel zwischen ihnen in die Formel ein. Wenn Ihr Dreieck bekannte Seiten hatbundcdie 5 Einheiten bzw. 6 Einheiten messen und der Winkel zwischen ihnen 60 Grad misst (der auch in Bogenmaß als π/3 ausgedrückt werden könnte), hätten Sie:
a^2 = 5^2 + 6^2 - (2 × 5 × 6) × \cos (60)
Verwenden Sie eine Tabelle oder Ihren Taschenrechner, um den Wert des Kosinus zu ermitteln; in diesem Fall ist cos (60) = 0,5, was Ihnen die Gleichung gibt:
a^2 = 5^2 + 6^2 – (2 × 5 × 6) × 0,5
Vereinfachen Sie das Ergebnis von Schritt 2. Dies gibt Ihnen:
a^2 = 25 + 36 - 30
Was wiederum vereinfacht zu:
a^2 = 31
Ziehe die Quadratwurzel von beiden Seiten, um die Auflösung nach abzuschließenein. Dies lässt Sie mit:
a = \sqrt{31}
Sie könnten zwar ein Diagramm oder Ihren Taschenrechner verwenden, um den Wert von √31 (es ist 5,568) zu schätzen, aber oft wird Ihnen erlaubt – und sogar ermutigt –, die Antwort in ihrer genaueren radikalen Form zu belassen.
Auflösen nach einem Winkel
Sie können den gleichen Prozess anwenden, um jeden Winkel des Dreiecks zu finden, wenn Sie alle drei Seiten kennen. Dieses Mal wählen Sie die Version der Formel, die den fehlenden oder "weiß nicht"-Winkel auf die linke Seite des Gleichheitszeichens setzt. Stellen Sie sich vor, Sie möchten das Maß für den Winkel C finden (der, wie Sie sich erinnern, als der Winkel gegenüber der gegenüberliegenden Seite definiert istc). Sie würden diese Version der Formel verwenden:
\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}
Setze die bekannten Werte – bei dieser Art von Aufgabe also die Längen aller drei Seiten des Dreiecks – in die Gleichung ein. Lassen Sie als Beispiel die Seiten Ihres Dreiecks sein:ein= 3 Einheiten,b= 4 Einheiten undc= 25 Einheiten. Ihre Gleichung wird also:
\cos(C) = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 × 3 × 4}
Nachdem Sie die resultierende Gleichung vereinfacht haben, haben Sie:
\cos(C) = \frac{0}{24}
oder einfach weil (C) = 0.
Berechnen Sie den inversen Kosinus oder Arkuskosinus von 0, oft notiert als cos-1(0). Oder mit anderen Worten, welcher Winkel hat einen Kosinus von 0? Es gibt tatsächlich zwei Winkel, die diesen Wert zurückgeben: 90 Grad und 270 Grad. Aber per Definition wissen Sie, dass jeder Winkel in einem Dreieck kleiner als 180 Grad sein muss, so dass nur 90 Grad als Option übrig bleiben.
Das Maß Ihres fehlenden Winkels beträgt also 90 Grad, was bedeutet, dass Sie es mit einem rechtwinkligen Dreieck zu tun haben, obwohl diese Methode auch mit nicht rechtwinkligen Dreiecken funktioniert.