Was passiert, wenn Sie eine Zahl auf einen Bruch erhöhen?

Wenn Sie "eine Zahl potenzieren", multiplizieren Sie die Zahl mit sich selbst, und die "Potenz" gibt an, wie oft Sie dies tun. 2 hoch 3 ist also 2 x 2 x 2, was 8 ergibt. Wenn Sie jedoch eine Zahl auf einen Bruch erhöhen, gehen Sie in die entgegengesetzte Richtung – Sie versuchen, die "Wurzel" der Zahl zu finden.

Der mathematische Begriff für das Potenzieren einer Zahl ist "Exponentiation". Ein Exponentialausdruck besteht aus zwei Teilen: der Basis, die ist die Zahl, die Sie erhöhen, und den Exponenten, der die "Kraft" ist. Wenn Sie also 2 zur 3. Potenz erhöhen, ist die Basis 2 und der Exponent ist 3. Das Anheben der Basis zur 2. Potenz wird im Allgemeinen als Quadrieren der Basis bezeichnet, während das Erhöhen zur 3. Potenz allgemein als Würfeln der Basis bezeichnet wird. Mathematiker schreiben Exponentialausdrücke normalerweise mit dem Exponenten hochgestellt, dh als kleine Zahl rechts oben von der Basis. Da einige Computer, Taschenrechner und andere Geräte nicht sehr gut mit hochgestellten Zeichen umgehen, werden Exponentialausdrücke häufig wie folgt geschrieben: 2^3. Das Caret – das nach oben zeigende Symbol – sagt Ihnen, dass das, was folgt, der Exponent ist.

In der Mathematik sind "Wurzeln" ein bisschen wie umgekehrte Exponenten. Nehmen Sie zum Beispiel "2 hoch 4", abgekürzt als 2^4. Das entspricht 2 x 2 x 2 x 2 oder 16. Da 2 mit sich selbst viermal gleich 16 ist, ist die "4. Wurzel" von 16 2. Schauen Sie sich nun die Nummer 729 an. Das zerfällt in 9 x 9 x 9 – also ist 9 die dritte Wurzel von 729. Es zerfällt auch in 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 – also ist 3 die 6. Wurzel von 729. Die 2. Wurzel einer Zahl wird allgemein als bezeichnet Quadratwurzel, und die 3. Wurzel ist die Kubikwurzel.

Wenn der Exponent ein Bruch ist, suchen Sie nach einer Wurzel der Basis. Die Wurzel entspricht dem Nenner des Bruches. Nehmen wir zum Beispiel "125 hoch 1/3" oder 125^1/3. Der Nenner des Bruchs ist 3. Sie suchen also nach der 3. Wurzel (oder Kubikwurzel) von 125. Da 5 x 5 x 5 = 125 ist, ist die 3. Wurzel von 125 5. Also 125^1/3 = 5. Versuchen Sie es jetzt mit 256^1/4. Sie suchen nach der 4. Wurzel von 256. Da 4 x 4 x 4 x 4 = 256 ist, lautet die Antwort 4.

Das Bruchexponentenponent bis zu diesem Punkt besprochen - 1/3 und 1/4 - hatten jeweils einen Zähler von 1. Wenn der Zähler etwas anderes als 1 ist, weist Sie der Exponent tatsächlich an, zwei Operationen durchzuführen: eine Wurzel zu finden und eine Potenz zu bilden. Nehmen Sie zum Beispiel 8^2/3. Der Nenner "3" sagt Ihnen, dass Sie nach einer Kubikwurzel suchen; der Zähler "2" sagt Ihnen, dass Sie mit der 2. Potenz erhöhen werden. Es spielt keine Rolle, welche Operation Sie zuerst ausführen. Sie erhalten in jedem Fall das gleiche Ergebnis. Sie könnten also damit beginnen, die 3. Wurzel von 8, die 2 ist, zu nehmen und diese dann mit der 2. Potenz zu erhöhen, was Ihnen 4 ergeben würde. Oder Sie könnten beginnen, indem Sie 8 hoch 2 potenzieren, was 64 entspricht, und dann die dritte Wurzel dieser Zahl, die 4 ist, ziehen. Gleiches Ergebnis.

Tatsächlich gilt die Regel „Zähler als Potenz, Nenner als Wurzel“ für alle Exponenten – sogar ganzzahlige Exponenten und gebrochene Exponenten mit Zähler 1. Zum Beispiel entspricht die ganze Zahl 2 dem Bruch 2/1. Der Exponentialausdruck 9^2 ist also "wirklich" 9^2/1. Wenn Sie 9 hoch 2 erhöhen, erhalten Sie 81. Jetzt müssen Sie die "1. Wurzel" von 81 erhalten. Aber die erste Wurzel jeder Zahl ist die Zahl selbst, also bleibt die Antwort 81. Betrachten Sie nun den Ausdruck 9^1/2. Sie könnten beginnen, indem Sie 9 in die "1. Potenz" erhöhen. Aber jede Zahl in der 1. Potenz ist die Zahl selbst. Alles, was Sie tun müssen, ist die Quadratwurzel von 9, die 3 ist. Die Regel gilt weiterhin, aber in diesen Situationen können Sie einen Schritt überspringen.