In der Mathematik ist ein Kehrwert einer Zahl die Zahl, die, wenn sie mit der ursprünglichen Zahl multipliziert wird, 1 ergibt. Der Kehrwert für die Variable x ist beispielsweise 1/x, weil
x × \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1
In diesem Beispiel 1/xist die reziproke Identität vonx, und umgekehrt. In der Trigonometrie kann jeder der Nicht-90-Grad-Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck durch Verhältnisse definiert werden, die als Sinus, Cosinus und Tangens bezeichnet werden. Unter Anwendung des Konzepts der reziproken Identitäten definieren Mathematiker drei weitere Verhältnisse. Ihre Namen sind Kosekant, Sekant und Kotangens. Kosekans ist die reziproke Identität von Sinus, Sekante die des Kosinus und Kotangens die des Tangens.
Wie man reziproke Identitäten bestimmt
Betrachten Sie einen Winkelθ, das ist einer der beiden Nicht-90-Grad-Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck. Wenn die Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite des Dreiecks "b," die Länge der Seite neben dem Winkel und gegenüber den Hypotenusen ist "
ein" und die Länge der Hypotenuse ist "r," können wir die drei primären trigonometrischen Verhältnisse in Bezug auf diese Längen definieren.\text{sinus} θ = \sin θ = \frac{b}{r} \\ \,\\ \text{cosinus }θ = \cos θ = \frac{a}{r} \\ \,\\ \text{tangens }θ = \tan θ = \frac{b}{a} \\
Die wechselseitige Identität der Sündeθmuss gleich 1/sin θ sein, da dies die Zahl ist, die multipliziert mit sinθ, produziert 1. Das gleiche gilt für cosθund bräunenθ. Mathematiker geben diesen Kehrwerten die Namen Kosekans, Sekanten bzw. Kotangens. Per Definition:
\text{Sekant }θ = \csc θ = \frac{1}{\sin θ} \\ \,\\ \text{Sekante }θ = \sec θ = \frac{1}{\cos θ} \\ \,\\ \text{Kotangens }θ = \cot θ = \frac{1}{\tan θ}
Sie können diese reziproken Identitäten in Bezug auf die Längen der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks wie folgt definieren:
\csc θ = \frac{r}{b} \\ \,\\ \sec θ = \frac{r}{a} \\ \,\\ \cot θ = \frac{a}{b}
Die folgenden Beziehungen gelten für jeden Winkelθ:
\sin θ × \csc θ = 1 \\ \cos θ × \sec θ = 1 \\ \tan θ × \cot θ = 1
Zwei andere trigonometrische Identitäten
Wenn Sie Sinus und Cosinus eines Winkels kennen, können Sie den Tangens ableiten. Das ist wahr, weil
\sin θ = \frac{b}{r} \text{ und } \cos = \frac{a}{r} \text{, also } \frac{\sin θ}{\cos θ} = \frac {b}{r} × \frac{r}{a} = \frac{b}{a}
Da dies die Definition von tan θ ist, folgt folgende Identität, bekannt als Quotientenidentität:
\frac{\sin }{\cos θ} = \tan θ \\ \,\\ \frac{\cos }{\sin θ} = \cot θ
Die pythagoräische Identität folgt daraus, dass für jedes rechtwinklige Dreieck mit Seiten witheinundbund Hypotenuser, gilt folgendes:ein2 + b2 = r2. Durch Umordnen von Termen und Definieren von Verhältnissen in Bezug auf Sinus und Cosinus erhalten Sie den folgenden Ausdruck:
\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1
Zwei weitere wichtige Beziehungen folgen, wenn Sie reziproke Identitäten für Sinus und Kosinus in den obigen Ausdruck einfügen:
\tan^2 θ + 1 = \sec^2 θ \\ \cot^2 θ + 1 = \csc^2 θ