Genau wie in der Algebra sammeln Sie beim Erlernen der Trigonometrie Sätze von Formeln, die für die Problemlösung nützlich sind. Ein solches Set sind die Halbwinkel-Identitäten, die Sie für zwei Zwecke verwenden können. Eine besteht darin, trigonometrische Funktionen von (θ/2) in Funktionen im Sinne des vertrauteren (und leichter manipulierbaren)θ. Die andere besteht darin, den tatsächlichen Wert der trigonometrischen Funktionen von find zu findenθ, wannθkann als die Hälfte eines vertrauteren Winkels ausgedrückt werden.
Überprüfung der Halbwinkelidentitäten
Viele Mathe-Lehrbücher listen vier primäre Halbwinkel-Identitäten auf. Aber durch die Anwendung einer Mischung aus Algebra und Trigonometrie können diese Gleichungen in eine Reihe nützlicher Formen gebracht werden. Sie müssen sich nicht unbedingt alle diese Dinge merken (es sei denn, Ihr Lehrer besteht darauf), aber Sie sollten zumindest verstehen, wie man sie benutzt:
Halbwinkelidentität für Sinus
\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}
Halbwinkelidentität für Kosinus
\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}
Halbwinkelidentitäten für Tangente
\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}} \\\,\\ \tan\bigg(\frac{ θ}{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 + \cosθ} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 - \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \tan\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ - \cotθ
Halbwinkelidentitäten für Cotangens
\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 - \cosθ}} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{ θ}{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 - \cosθ} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 + \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \cot\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ + \cotθ
Ein Beispiel für die Verwendung von Halbwinkelidentitäten
Wie verwendet man also Halbwinkel-Identitäten? Der erste Schritt besteht darin zu erkennen, dass Sie es mit einem Winkel zu tun haben, der die Hälfte eines vertrauteren Winkels ist.
- Quadrant I: alle Triggerfunktionen
- Quadrant II: nur Sinus und Kosekan
- Quadrant III: nur Tangens und Cotangens
- Quadrant IV: nur Cosinus und Sekant
Stellen Sie sich vor, Sie sollen den Sinus des Winkels 15 Grad ermitteln. Dies ist nicht einer der Winkel, für die sich die meisten Schüler die Werte von trigonometrischen Funktionen merken werden. Aber wenn Sie 15 Grad gleich θ/2 sein lassen und dann nach θ auflösen, finden Sie Folgendes:
\frac{θ}{2} = 15 \\ θ = 30
Da das resultierende θ, 30 Grad, ein bekannterer Winkel ist, ist die Verwendung der Halbwinkelformel hier hilfreich.
Da Sie gebeten wurden, den Sinus zu finden, gibt es wirklich nur eine Halbwinkelformel zur Auswahl:
\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}
Ersetzen inθ/2 = 15 Grad undθ= 30 Grad ergibt:
\sin (15) = ±\sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}
Wenn Sie gebeten wurden, den Tangens oder den Kotangens zu finden, die beide halb multiplizieren, um ihre Halbwinkel-Identität auszudrücken, würden Sie einfach die Version wählen, die am einfachsten zu funktionieren scheint.
Das ±-Zeichen am Anfang einiger Halbwinkelidentitäten bedeutet, dass die betreffende Wurzel positiv oder negativ sein kann. Sie können diese Mehrdeutigkeit auflösen, indem Sie Ihr Wissen über trigonometrische Funktionen in Quadranten anwenden. Hier ist eine kurze Zusammenfassung, welche Triggerfunktionen zurückkehrenpositivWerte, in denen Quadranten:
Da Ihr Winkel θ in diesem Fall 30 Grad darstellt, der in Quadrant I fällt, wissen Sie, dass der zurückgegebene Sinuswert positiv ist. Sie können also das ±-Zeichen weglassen und einfach auswerten:
\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}
Ersetzen Sie den bekannten, bekannten Wert von cos (30). Verwenden Sie in diesem Fall die genauen Werte (im Gegensatz zu dezimalen Näherungen aus einem Diagramm):
\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{3/2}}{2}}
Als nächstes vereinfachen Sie die rechte Seite Ihrer Gleichung, um einen Wert für sin (15) zu finden. Beginnen Sie damit, den Ausdruck unter dem Radikal mit 2/2 zu multiplizieren, was Ihnen Folgendes ergibt:
\sin (15) = \sqrt{\frac{2(1 - \sqrt{3/2})}{4}}
Dies vereinfacht sich zu:
\sin (15) = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}
Sie können dann die Quadratwurzel von 4 herausrechnen:
\sin (15) = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}
In den meisten Fällen ist dies ungefähr so weit, wie Sie es vereinfachen würden. Auch wenn das Ergebnis nicht besonders schön ist, haben Sie den Sinus eines unbekannten Winkels in eine genaue Größe übersetzt.