Kreise sind in der realen Welt allgegenwärtig, weshalb ihre Radien, Durchmesser und ihr Umfang in realen Anwendungen von Bedeutung sind. Aber auch andere Teile von Kreisen – zum Beispiel Sektoren und Winkel – haben in alltäglichen Anwendungen Bedeutung. Beispiele sind Sektorgrößen kreisförmiger Lebensmittel wie Kuchen und Torten, der Winkel, der in einem Riesenrad zurückgelegt wird, die Dimensionierung eines Reifens auf ein bestimmtes Fahrzeug und insbesondere die Dimensionierung eines Rings für eine Verlobung oder Hochzeit. Aus diesen und weiteren Gründen gibt es in der Geometrie auch Gleichungen und Problemrechnungen, die sich mit Mittelpunktwinkeln, Kreisbögen und Kreissektoren befassen.
Was ist der Zentralwinkel?
Der Mittelpunktswinkel ist definiert als der Winkel, der von zwei Strahlen oder Radien erzeugt wird, die vom Mittelpunkt eines Kreises ausgehen, wobei der Mittelpunkt des Kreises der Scheitelpunkt des Mittelpunktswinkels ist. Zentralwinkel sind besonders relevant, wenn es darum geht, Pizza oder andere kreisförmige Lebensmittel gleichmäßig auf eine bestimmte Anzahl von Personen zu verteilen. Sagen wir, es gibt fünf Leute auf einer Soiree, bei der eine große Pizza und ein großer Kuchen geteilt werden sollen. In welchem Winkel müssen sowohl die Pizza als auch der Kuchen geteilt werden, um ein gleichmäßiges Stück für alle zu gewährleisten? Da ein Kreis 360 Grad hat, wird die Berechnung zu 360 Grad geteilt durch 5, um 72 Grad zu erhalten. so dass jedes Stück, egal ob Pizza oder Kuchen, einen Zentralwinkel oder Theta (θ) von 72. hat Grad.
Bestimmung des Zentriwinkels aus der Bogenlänge
Ein Kreisbogen bezieht sich auf einen „Teil“ des Kreisumfangs. Die Bogenlänge ist daher die Länge dieses „Abschnitts“. Wenn Sie sich ein Pizzastück vorstellen, kann der Sektorbereich sein visualisiert als das gesamte Pizzastück, aber die Bogenlänge ist dafür die Länge des äußeren Randes der Kruste besondere Scheibe. Aus der Bogenlänge lässt sich der Zentriwinkel berechnen. Tatsächlich besagt eine Formel, die bei der Bestimmung des Zentralwinkels helfen kann, dass die Bogenlänge (s) gleich dem Radius mal dem Zentralwinkel ist, oder
s = r × θ
wobei der Winkel Theta in Radiant gemessen werden muss. Um also nach dem Zentralwinkel Theta aufzulösen, braucht man nur die Bogenlänge durch den Radius zu dividieren, oder
\frac{s}{r} =
Zur Veranschaulichung: Wenn die Bogenlänge 5,9 beträgt und der Radius 3,5329 beträgt, wird der Zentralwinkel 1,67 Radiant. Ein anderes Beispiel ist, wenn die Bogenlänge 2 und der Radius 2 beträgt, wird der Zentriwinkel 1 Radiant. Wenn Sie Radiant in Grad umrechnen möchten, denken Sie daran, dass 1 Radiant 180 Grad geteilt durch oder 57,2958 Grad entspricht. Umgekehrt, wenn eine Gleichung Grad zurück in Bogenmaß umwandeln möchte, dann multiplizieren Sie zuerst mit π und dividieren Sie dann durch 180 Grad.
Bestimmung des Zentralwinkels aus der Sektorfläche
Eine weitere nützliche Formel zur Bestimmung des Zentriwinkels liefert der Sektorbereich, der wiederum als Pizzastück visualisiert werden kann. Diese spezielle Formel kann auf zwei Arten gesehen werden. Der erste hat den Zentriwinkel, gemessen in Grad, so dass die Sektorfläche gleich π mal ist Radius-Quadrat und dann multipliziert mit der Größe des Zentriwinkels in Grad geteilt durch 360 Grad. Mit anderen Worten:
πr^2 × \frac{\text{Mittelwinkel in Grad}}{360 \text{Grad}} = \text{Sektorfläche}
Wenn der Zentriwinkel im Bogenmaß gemessen wird, lautet die Formel stattdessen:
\text{Sektorfläche} = r^2 × \frac{\text{Mittelwinkel im Bogenmaß}}{2}
Die Neuordnung der Formeln hilft, den Wert des Zentralwinkels oder Theta aufzulösen. Betrachten Sie eine Sektorfläche von 52,3 Quadratzentimetern mit einem Radius von 10 Zentimetern. Wie groß wäre sein Zentralwinkel in Grad? Die Berechnungen würden mit einer Sektorfläche von 52,3 Quadratzentimetern beginnen, die gleich ist:
\frac{θ}{360 \text{ Grad}} × πr^2
Da der Radius (r) gleich 10 ist, kann die gesamte Gleichung geschrieben werden als:
\frac{52.3}{100π} × 360
damit Theta geschrieben werden kann als:
\frac{52.3}{314} × 360
Somit wird die endgültige Antwort ein Zentralwinkel von 60 Grad.
