So vereinfachen Sie radikale Brüche

Radikale Fraktionen sind keine kleinen rebellischen Fraktionen, die lange draußen bleiben und Gras trinken und rauchen. Stattdessen handelt es sich um Brüche, die Radikale enthalten – normalerweise Quadratwurzeln, wenn Sie zum ersten Mal mit der Konzept, aber später werden Sie vielleicht auch auf Kubikwurzeln, vierte Wurzeln und dergleichen stoßen, die alle genannt werden auch Radikale. Je nachdem, was Ihr Lehrer von Ihnen verlangt, gibt es zwei Möglichkeiten, radikale Brüche zu vereinfachen: Entweder faktorisieren Sie das Radikal heraus ganz, vereinfachen oder "rationalisieren" Sie den Bruch, was bedeutet, dass Sie das Radikal vom Nenner entfernen, aber möglicherweise immer noch ein Radikal im Zähler.

Betrachten Sie Ihre erste Option, indem Sie das Radikal aus dem Bruch herausrechnen. Dafür gibt es eigentlich zwei Möglichkeiten. Existiert das gleiche Radikal in alle Begriffe sowohl am oberen als auch am unteren Rand des Bruchs können Sie den radikalen Ausdruck einfach ausklammern und annullieren. Wenn Sie beispielsweise Folgendes haben:

(2√3) / (3√3_)_

Sie können beide Radikale ausklammern, da sie in jedem Term im Zähler und Nenner vorhanden sind. Das lässt Sie mit:

√3/√3 × 2/3

Und da jeder Bruch mit den exakt gleichen Werten ungleich Null in Zähler und Nenner gleich eins ist, können Sie dies wie folgt umschreiben:

1 × 2/3

Oder einfach 2/3.

Manchmal werden Sie mit einem radikalen Ausdruck konfrontiert, auf den es keine prägnante Antwort gibt, wie √3 aus dem vorherigen Beispiel. In diesem Fall werden Sie den radikalen Begriff normalerweise so beibehalten, wie er ist, indem Sie grundlegende Operationen wie Faktorisieren oder Abbrechen verwenden, um ihn entweder zu entfernen oder zu isolieren. Aber manchmal gibt es eine offensichtliche Antwort. Betrachten Sie den folgenden Bruch:

(√4)/(√9)

Wenn Sie in diesem Fall Ihre Quadratwurzeln kennen, können Sie sehen, dass beide Radikale tatsächlich bekannte ganze Zahlen darstellen. Die Quadratwurzel von 4 ist 2 und die Quadratwurzel von 9 ist 3. Wenn Sie also bekannte Quadratwurzeln sehen, können Sie den Bruch einfach mit ihnen in ihrer vereinfachten, ganzzahligen Form umschreiben. In diesem Fall hätten Sie:

2/3

Dies funktioniert auch mit Kubikwurzeln und anderen Radikalen. Die Kubikwurzel von 8 ist beispielsweise 2 und die Kubikwurzel von 125 ist 5. Wenn Sie also auf Folgendes gestoßen sind:

(³√8) / (³√125)

Sie würden mit ein wenig Übung sofort sehen, dass es einfacher wird, um viel einfacher und einfacher zu handhaben:

2/5

Oftmals erlauben dir die Lehrer, radikale Ausdrücke im Zähler deines Bruchs beizubehalten; aber ebenso wie die Zahl Null verursachen Radikale Probleme, wenn sie im Nenner oder der unteren Zahl des Bruchs auftauchen. Die letzte Möglichkeit, radikale Brüche zu vereinfachen, ist also eine Operation namens Rationalisierung, was einfach bedeutet, das Radikal aus dem Nenner zu entfernen. Das bedeutet oft, dass der radikale Ausdruck stattdessen im Zähler auftaucht.

Betrachten Sie den Bruch

4/_√_5

Sie können _√_5 nicht einfach zu einer ganzen Zahl vereinfachen, und selbst wenn Sie es herausrechnen, bleibt immer noch ein Bruch mit einem Radikal im Nenner, wie folgt:

1/_√_5 × 4/1

Keine der bereits besprochenen Methoden wird also funktionieren. Aber wenn Sie sich an die Eigenschaften von Brüchen erinnern, ist ein Bruch mit einer beliebigen Zahl ungleich Null sowohl oben als auch unten gleich 1. Du könntest also schreiben:

√_5/√_5 = 1

Und weil Sie alles andere 1-mal multiplizieren können, ohne den Wert dieses anderen Dings zu ändern, können Sie auch Folgendes schreiben, ohne den Wert des Bruchs tatsächlich zu ändern:

√_5/√5 × 4/√_5

Sobald Sie sich multiplizieren, passiert etwas Besonderes. Der Zähler wird 4_√_5, was akzeptabel ist, da Ihr Ziel einfach darin bestand, das Radikal aus dem Nenner herauszubekommen. Wenn es im Zähler auftaucht, können Sie damit umgehen.

Inzwischen wird der Nenner √_5 × √5 oder (√_5)². Und weil sich eine Quadratwurzel und ein Quadrat aufheben, vereinfacht sich das auf einfach 5. Ihr Bruch ist jetzt also:

4_√_5/5, der als rationaler Bruch angesehen wird, da im Nenner kein Radikal vorhanden ist.