Sie können keine Gleichung lösen, die einen Bruch mit einem irrationalen Nenner enthält, was bedeutet, dass der Nenner einen Term mit einem Wurzelzeichen enthält. Dazu gehören Quadrat-, Würfel- und höhere Wurzeln. Das radikale Zeichen loszuwerden nennt man Rationalisierung des Nenners. Wenn der Nenner einen Term hat, können Sie dies tun, indem Sie den oberen und unteren Term mit dem Radikal multiplizieren. Wenn der Nenner zwei Terme hat, ist das Verfahren etwas komplizierter. Sie multiplizieren oben und unten mit dem Konjugierten des Nenners und erweitern und einfach den Zähler.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Um einen Bruch zu rationalisieren, müssen Sie Zähler und Nenner mit einer Zahl oder einem Ausdruck multiplizieren, der die Wurzelzeichen im Nenner beseitigt.
Einen Bruch mit einem Begriff im Nenner rationalisieren
Ein Bruch mit der Quadratwurzel eines einzelnen Termes im Nenner ist am einfachsten zu rationalisieren. Im Allgemeinen hat der Bruch die Formein / √x. Sie rationalisieren es, indem Sie Zähler und Nenner mit √. multiplizierenx.
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} × \frac{ a}{\sqrt{x}} = \frac{a\sqrt{x}}{x}
Da Sie den Bruch nur mit 1 multipliziert haben, hat sich sein Wert nicht geändert.
Beispiel:
Rationalisieren
\frac{12}{\sqrt{6}}
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit √6, um zu erhalten
\frac{12\sqrt{6}}{6}
Sie können dies vereinfachen, indem Sie 6 durch 12 teilen, um 2 zu erhalten, also ist die vereinfachte Form des rationalisierten Bruchs
2\sqrt{6}
Einen Bruch mit zwei Termen im Nenner rationalisieren
Angenommen, Sie haben einen Bruch in der Form
\frac{a + b}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}
Sie können das Wurzelzeichen im Nenner loswerden, indem Sie den Ausdruck mit seinem Konjugierten multiplizieren. Für ein allgemeines Binomial der Formx + ja, das Konjugiert istx − ja. Wenn Sie diese miteinander multiplizieren, erhalten Siex2 − ja2. Anwenden dieser Technik auf den obigen verallgemeinerten Bruch:
\frac{a + b}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} × \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \ \ \,\\ (a + b) × \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x - y}
Erweitern Sie den Zähler, um zu erhalten
\frac{a\sqrt{x} -a\sqrt{y} + b\sqrt{x} - b\sqrt{y}}{x - y}
Dieser Ausdruck wird weniger kompliziert, wenn Sie einige oder alle Variablen durch ganze Zahlen ersetzen.
Beispiel:
Rationalisiere den Nenner des Bruchs
\frac{3}{1 - \sqrt{y}}
Die Konjugierte des Nenners ist 1 − ( −√ja) = 1+ √ja. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit diesem Ausdruck und vereinfachen Sie:
\frac{3 × (1 + \sqrt{y})}{1 - y} \\ \,\\ \frac{3 + 3\sqrt{y}}{1 - y}
Rationalisierung von Würfelwurzeln
Wenn Sie eine Kubikwurzel im Nenner haben, müssen Sie Zähler und Nenner mit multiplizieren Kubikwurzel des Quadrats der Zahl unter dem Wurzelzeichen, um das Wurzelzeichen im loszuwerden Nenner. Im Allgemeinen, wenn Sie einen Bruch in der Form habenein / 3√x, multipliziere oben und unten mit 3√x2.
Beispiel:
Den Nenner rationalisieren:
\frac{7}{\sqrt[3]{x}}
Zähler und Nenner mit multiplizieren 3√x2 zu bekommen
\frac{7 × \sqrt[3]{x^2} }{ \sqrt[3]{x} × \sqrt[3]{x^2} }= \frac{7 × \sqrt[3]{x ^2} }{ \sqrt[3]{x^3}} \\ \,\\ \frac{7 \sqrt[3]{x^2}}{x}