Manchmal ist die einzige Möglichkeit, mathematische Berechnungen durchzuführen, rohe Gewalt. Aber von Zeit zu Zeit können Sie sich viel Arbeit sparen, indem Sie spezielle Probleme erkennen, die Sie mit einer standardisierten Formel lösen können. Das Ermitteln der Würfelsumme und das Ermitteln der Würfeldifferenz sind zwei Beispiele dafür: Sobald Sie die Formeln für die Faktorisierung kennenein3 + b3 oderein3 - b3, ist die Antwort so einfach wie das Einsetzen der Werte für a und b in die richtige Formel.
In Kontext setzen
Zuerst ein kurzer Blick darauf, warum Sie die Summen oder Differenzen von Würfeln finden oder besser "faktorisieren" möchten. Wenn das Konzept zum ersten Mal eingeführt wird, ist es an und für sich eine einfache mathematische Aufgabe. Aber wenn du weiter Mathematik studierst, wird dies später zu einem Zwischenschritt in komplexeren Berechnungen. Also wenn du bekommstein3 + b3 oderein3 − b3 Als Antwort bei anderen Berechnungen können Sie die Fähigkeiten, die Sie lernen werden, verwenden, um diese Würfel zu zerbrechen Zahlen in einfachere Komponenten zerlegt, was es oft einfacher macht, das Original weiter zu lösen Problem.
Faktorisieren der Summe der Würfel
Stellen Sie sich vor, Sie sind beim Binomial angekommen
x^3 + 27
und werden gebeten, es zu vereinfachen. Der erste Begriff,x3, ist offensichtlich eine Kubikzahl. Nach einer kleinen Betrachtung stellt man fest, dass auch die zweite Zahl tatsächlich eine Kubikzahl ist: 27 ist gleich 33. Da Sie nun wissen, dass beide Zahlen Würfel sind, können Sie die Formel für die Summe der Würfel anwenden.
Schreiben Sie beide Zahlen in ihrer Würfelform auf, falls dies noch nicht der Fall ist. Um dieses Beispiel fortzusetzen, müssten Sie:
x^3 + 27 = x^3 + 3^3
Wenn Sie sich an den Vorgang gewöhnt haben, können Sie diesen Schritt überspringen und direkt die Werte aus Schritt 1 in die Formel eingeben. Aber gerade beim Lernen ist es am besten, Schritt für Schritt vorzugehen und sich an die Formel zu erinnern:
a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)
Vergleichen Sie die linke Seite dieser Gleichung mit dem Ergebnis aus Schritt 1. Beachten Sie, dass Sie ersetzen könnenxanstelle vonein,und 3 stattb.
Ersetzen Sie die Werte aus Schritt 1 in die Formel in Schritt 2. Also hast du:
x^3 + 3^3 = (x + 3) (x^2 - 3x + 3^2)
Im Moment stellt das Erreichen der rechten Seite der Gleichung Ihre Antwort dar. Dies ist das Ergebnis der Faktorisierung der Summe zweier Würfelzahlen.
Faktorisieren der Differenz von Würfeln
Das Faktorisieren der Differenz zweier Würfelzahlen funktioniert auf die gleiche Weise. Tatsächlich ist die Formel fast identisch mit der Formel für die Summe der Würfel. Es gibt jedoch einen entscheidenden Unterschied: Achten Sie besonders darauf, wohin das Minuszeichen geht.
Stellen Sie sich vor, Sie haben das Problem
y^3 - 125
und muss es faktorisieren. Wie vorher,ja3 ist ein offensichtlicher Würfel, und mit ein wenig Nachdenken sollten Sie erkennen können, dass 125 tatsächlich 5 ist3. Also hast du:
y^3 - 125 = y^3 - 5^3
Schreiben Sie wie zuvor die Formel für die Differenz der Würfel auf. Beachten Sie, dass Sie ersetzen könnenjazumeinund 5 fürb, und achten Sie besonders darauf, wo das Minuszeichen in dieser Formel steht. Die Position des Minuszeichens ist der einzige Unterschied zwischen dieser Formel und der Formel für die Summe der Würfel.
a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)
Schreiben Sie die Formel erneut aus und ersetzen Sie diesmal die Werte aus Schritt 1. Dies ergibt:
y^3 - 5^3 = (y - 5)(y^2 + 5y + 5^2)
Auch hier, wenn Sie nur die Differenz der Würfel berücksichtigen müssen, ist dies Ihre Antwort.