Eine irrationale Zahl ist nicht so beängstigend, wie sie klingt; es ist nur eine Zahl, die nicht als einfacher Bruch ausgedrückt werden kann oder, um es anders auszudrücken, an irrationale Zahl ist eine nie endende Dezimalzahl, die unendlich viele Stellen hinter dem Komma. Sie können die meisten Operationen mit irrationalen Zahlen genauso ausführen wie mit rationalen Zahlen, aber wenn es um das Ziehen von Quadratwurzeln geht, müssen Sie lernen, den Wert zu approximieren.
Was ist eine irrationale Zahl?
Was ist überhaupt eine irrationale Zahl? Sie kennen vielleicht bereits zwei sehr berühmte irrationale Zahlen: π oder "pi", das fast immer mit 3,14 abgekürzt wird, sich aber tatsächlich unendlich nach dem Dezimalkomma fortsetzt; und "e", auch bekannt als Eulersche Zahl, die normalerweise als 2,71828 abgekürzt wird, sich aber auch unendlich nach dem Dezimalkomma fortsetzt.
Aber es gibt noch viel mehr irrationale Zahlen, und hier ist eine einfache Möglichkeit, einige davon zu erkennen: Wenn die Zahl unter einem Quadratwurzelzeichen kein perfektes Quadrat ist, dann ist diese Quadratwurzel irrational Nummer.
Das ist ein schrecklich großer Bissen, also hier ein Beispiel, um es klar zu machen. Es hilft auch, sich daran zu erinnern, dass ein perfektes Quadrat eine Zahl ist, deren Quadratwurzel eine ganze Zahl ist:
Ist √8 eine irrationale Zahl?Wenn du dir deine perfekten Quadrate auswendig gelernt hast oder dir die Zeit nimmst, sie nachzuschlagen, wirst du das wissen
\sqrt{4} = 2 \text{ und } \sqrt{9} = 3
Da √8 zwischen diesen beiden Zahlen liegt, es aber keine ganze Zahl zwischen 2 und 3 als Wurzel gibt, ist √8 irrational.
Die Quadratwurzel einer irrationalen Zahl ziehen
Wenn es darum geht, die Quadratwurzel einer irrationalen Zahl zu berechnen, haben Sie zwei Möglichkeiten. Geben Sie die irrationale Zahl entweder in einen Taschenrechner oder einen Online-Quadratwurzelrechner ein (siehe Ressourcen). der Rechner gibt Ihnen einen ungefähren Wert zurück – oder Sie können den Wert in einem vierstufigen Verfahren schätzen du selber.
Beispiel 1:Schätzen Sie den Wert der irrationalen Zahl √8 ab.
Finden Sie die perfekten Quadrate, die auf der Zahlengeraden zu beiden Seiten von √8 liegen würden. In diesem Fall gilt √4 = 2 und √9 = 3. Wählen Sie diejenige aus, die Ihrer Zielnummer am nächsten kommt. Da 8 viel näher an 9 als an 4 liegt, wählen Sie
\sqrt{9} = 3
Als nächstes teilen Sie die Zahl, deren Wurzel Sie wollen – 8 – durch Ihre Schätzung. Wenn Sie das Beispiel fortsetzen, haben Sie:
\frac{8}{3} = 2,67
Ermitteln Sie nun den Durchschnitt des Ergebnisses aus Schritt 2 mit dem Divisor aus Schritt 2. Hier bedeutet das Mittelung von 3 und 2,67. Addiere zuerst die beiden Zahlen und dividiere dann durch zwei:
3 + 2.67 = 5.6667
(Dies ist eigentlich die sich wiederholende Dezimalzahl 5,6666666666, aber der Kürze halber auf vier Dezimalstellen gerundet.)
\frac{5,6667}{2} = 2,83335
Das Ergebnis aus Schritt 3 ist noch nicht genau, aber es rückt näher. Wiederholen Sie die Schritte 2 und 3 nach Bedarf und verwenden Sie jedes Mal das Ergebnis aus Schritt 3 als neuen Divisor in Schritt 2.
Um das Beispiel fortzusetzen, würden Sie 8 durch das Ergebnis aus Schritt 3 (2.83335) dividieren, was Ihnen Folgendes ergibt:
\frac{8}{2.83335} = 2.8235
(Auch hier wird der Kürze halber auf vier Dezimalstellen gerundet.)
Sie würden dann das Ergebnis Ihrer Division mit dem Divisor mitteln, was Ihnen Folgendes ergibt:
2,83335 + 2,8235 = 5,65685 \\ \,\\ \frac{5,65685}{2} = 2,828425
Sie können diesen Vorgang fortsetzen und die Schritte 2 und 3 nach Bedarf wiederholen, bis die Antwort so genau ist, wie Sie es benötigen.
Was ist mit irrationalen Quadratwurzeln?
Anstatt die Quadratwurzel einer irrationalen Zahl zu finden, müssen Sie manchmal mit irrationalen Zahlen arbeiten, die in Form der Quadratwurzel ausgedrückt werden – eine der bekanntesten, die Sie kennen lernen, ist √2.
Es gibt nicht viel, was Sie mit √2 machen können, außer den Wert wie oben beschrieben zu approximieren. Aber wenn Sie eine größere irrationale Zahl in Quadratwurzelform erhalten, können Sie manchmal die Tatsache nutzen, dass
\sqrt{cd} = \sqrt{c} × \sqrt{d}
um die Antwort in eine einfachere Form umzuschreiben.
Betrachten Sie die irrationale Quadratwurzel √32. Obwohl es keine Hauptwurzel hat (d. h. eine nicht negative, ganzzahlige Wurzel), können Sie sie mit einer vertrauten Hauptwurzel in etwas einbeziehen:
\sqrt{32} = \sqrt{16} × \sqrt{2}
Mit √2 kannst du immer noch nicht viel anfangen, aber √16 = 4, also kannst du noch einen Schritt weiter gehen und es schreiben als
\sqrt{32} = 4\sqrt{2}
Obwohl Sie das Radikalzeichen nicht vollständig eliminiert haben, haben Sie diese irrationale Zahl vereinfacht und gleichzeitig ihren genauen Wert beibehalten.