Die Umrechnung eines Winkels (ø) in einen Abstand (d) ist nur dann sinnvoll, wenn sich der Abstand auf einem Kreisumfang oder auf einer Kugeloberfläche befindet. Verwenden Sie in diesem Fall die Gleichung ø = d/r – wobei r der Radius des Kreises oder der Kugel ist. Dies ergibt einen Wert im Bogenmaß, der leicht in Grad umgerechnet werden kann. Wenn Sie den Winkel in Grad kennen und die Bogenlänge ermitteln möchten, wandeln Sie den Winkel in Bogenmaß um und verwenden Sie dann den umgekehrten Ausdruck: d = ø • r. Um die Entfernung in englischen Einheiten zu erhalten, müssen Sie den Radius in englischen Einheiten ausdrücken. Ebenso müssen Sie den Radius in metrischen Einheiten ausdrücken, um die Entfernung in Kilometer, Meter, Zentimeter oder Millimeter zu erhalten.
Winkel im Bogenmaß messen
Ein Bogenmaß ist eine Winkelmessung basierend auf der Länge des Radius eines Kreises oder einer Kugel. Der Radius ist eine Linie, die vom Mittelpunkt des Kreises zu einem Punkt A auf seinem Umfang oder auf seinem Umfang gezogen wird, wenn es sich um eine Kugel handelt. Wenn sich eine radiale Linie von Punkt A zu einem anderen Punkt B auf dem Umfang bewegt, zieht sie einen Bogen der Länge d und schreibt gleichzeitig einen Winkel ø in den Mittelpunkt des Kreises.
Per Definition ist ein Bogenmaß der Winkel, den Sie schreiben, wenn die Länge des Bogens von Punkt A zu Punkt B gleich der Länge des Radius ist. Im Allgemeinen bestimmen Sie die Größe eines beliebigen Winkels ø im Bogenmaß, indem Sie die Bogenlänge, die durch die Bogenmaßlinien zwischen zwei Punkten gezogen wird, durch den Radius teilen. Dies ist der mathematische Ausdruck: ø (Radiant) = d/r. Damit dieser Ausdruck funktioniert, müssen Sie Bogenlänge und Radius in denselben Einheiten ausdrücken.
Angenommen, Sie möchten den Winkel des Bogens bestimmen, der von radialen Linien gezeichnet wird, die sich vom Erdmittelpunkt nach San Francisco und nach New York erstrecken. Diese beiden Städte sind 2.572 Meilen (4.139 Kilometer) voneinander entfernt und der äquatoriale Radius der Erde beträgt 3.963 Meilen (6378 Kilometer). Wir können den Winkel entweder mit den metrischen oder englischen Einheiten ermitteln, solange wir sie konsequent verwenden: 2,572 Meilen/3,963 Meilen = 4,139 km/6.378 km = 0,649 Radiant.
Bogenmaß zu Grad
Wir können einen einfachen Faktor zur Umrechnung von Bogenmaß in Grad ableiten, indem wir beachten, dass ein Kreis 360 Grad hat und dass der Umfang des Kreises 2πr Längeneinheiten beträgt. Wenn eine radiale Linie einen ganzen Kreis nachzeichnet, beträgt die Bogenlänge 2πr/r = 2π, und da die Linie einen Winkel von 360 Grad verfolgt, wissen wir, dass 360 Grad = 2π Radiant ist. Wenn wir beide Seiten dieser Gleichung durch 2 teilen, erhalten wir:
- 180 Grad = π Bogenmaß
Dies bedeutet, dass 1 Grad = π/180 Radiant und 1 Radiant = 180/π Grad.
Grad in Bogenlänge umwandeln
Wir brauchen eine wichtige Information, bevor wir Grad in Bogenlänge umrechnen können, und das ist der Radius des Kreises oder der Kugel, auf dem wir den Bogen messen. Sobald wir es wissen, ist die Konvertierung einfach. Hier ist das zweistufige Verfahren:
- Konvertieren Sie Grad in Bogenmaß.
- Multiplizieren Sie mit dem Radius, um die Bogenlänge in den gleichen Einheiten zu erhalten.
Wenn Sie den Radius in Zoll kennen und die Bogenlänge in Millimetern möchten, müssen Sie zuerst den Radius in Millimeter umrechnen.
Ein Beispiel für einen 50-Zoll-Kreis
In diesem Beispiel möchten Sie die Länge des Bogens – in Millimetern – auf der Umfang eines Kreises mit einem Durchmesser von 50 Zoll, der von einem Paar Linien gezeichnet wird, die einen Winkel bilden von 30 Grad.
- Beginnen Sie mit der Umrechnung des Winkels in Bogenmaß. 30 Grad = 30π/180 Radiant. Da π ungefähr 3,14 beträgt, erhalten wir 0,523 Radiant.
- Denken Sie daran, dass der Radius eines Kreises die Hälfte seines Durchmessers ist. In diesem Fall ist r = 25 Zoll.
- Konvertieren Sie den Radius in die Zieleinheit – Millimeter – mit der Umrechnung 1 Zoll = 25,4 Millimeter. Wir erhalten 25 Zoll = 635 Millimeter.
- Multiplizieren Sie den Radius mit dem Winkel im Bogenmaß, um die Bogenlänge zu erhalten. 635 mm • 0,523 Radiant = 332,1 mm.