Das Sinusgesetz und das Kosinusgesetz sind trigonometrische Formeln, die die Maße der Winkel eines Dreiecks mit den Längen seiner Seiten in Beziehung setzen. Sie leiten sich von der Eigenschaft ab, dass größere Winkel in Dreiecken proportional größere gegenüberliegende Seiten haben. Verwenden Sie das Sinusgesetz oder das Kosinusgesetz, um die Längen der Seiten eines Dreiecks und Vierecks (a Viereck besteht im Wesentlichen aus zwei benachbarten Dreiecken), wenn Sie das Maß einer Seite, eines Winkels und einer zusätzlichen Seite kennen oder Winkel.
Finde die Gegebenheit des Dreiecks. Angegeben sind bereits bekannte Seitenlängen und Winkelmaße. Sie können das Maß der Seitenlängen eines Dreiecks nicht finden, es sei denn, Sie kennen das Maß eines Winkels, einer Seite und entweder einer anderen Seite oder eines anderen Winkels.
Verwenden Sie die gegebenen Angaben, um festzustellen, ob das Dreieck ein ASA-, AAS-, SAS- oder ASS-Dreieck ist. Ein ASA-Dreieck hat zwei Winkel als gegeben sowie die Seite, die die beiden Winkel verbindet. Ein AAS-Dreieck hat zwei Winkel und eine andere Seite als gegeben. Ein SAS-Dreieck hat zwei Seiten als gegeben sowie den Winkel, den die beiden Seiten bilden. Ein ASS-Dreieck hat zwei Seiten und einen anderen Winkel als die gegebenen.
Verwenden Sie das Sinusgesetz, um eine Gleichung für die Längen der Seiten aufzustellen, wenn es sich um ein ASA-, AAS- oder ASS-Dreieck handelt. Das Sinusgesetz besagt, dass die Verhältnisse der Sinus der Winkel eines Dreiecks und ihrer gegenüberliegenden Seiten gleich sind:
\sin\bigg(\frac{A}{a}\bigg) = \sin\bigg(\frac{B}{b}\bigg) = \sin\bigg(\frac{C}{c}\bigg)
woein, bundcsind die gegenüberliegenden Seitenlängen der WinkelEIN, BundC, beziehungsweise.
Wenn Sie beispielsweise wissen, dass zwei Winkel 40 Grad und 60 Grad betragen und die Seite, die sie verbindet, 3 Einheiten lang war, würden Sie die Gleichung aufstellen:
\sin\bigg(\frac{80}{3}\bigg) = \sin\bigg(\frac{40}{b}\bigg) = \sin\bigg(\frac{60}{c}\bigg)
Sie wissen, dass der Winkel gegenüber der 3 Einheiten langen Seite 80 Grad beträgt, da die Summe der Winkel eines Dreiecks 180 Grad beträgt.
Verwenden Sie das Kosinusgesetz, um eine Gleichung aufzustellen, die die Längen der Seiten in Beziehung setzt, wenn es sich um ein SAS-Dreieck handelt. Das Kosinusgesetz besagt:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
Mit anderen Worten, das Quadrat der Seitenlänge c ist gleich den Quadraten der anderen beiden Seitenlängen minus dem Produkt dieser beiden Seiten und dem Kosinus des Winkels gegenüber der unbekannten Seite. Wenn die beiden Seiten beispielsweise 3 Einheiten und 4 Einheiten wären und der Winkel 60 Grad beträgt, würdest du die Gleichung schreiben
c^2 = 3^2 + 4^2 - 34 × \cos 60
Lösen Sie nach den Variablen in den Gleichungen auf, um die unbekannten Dreieckslängen zu finden. Auflösen nachbin der Gleichung
\sin\bigg(\frac{80}{3}\bigg) = \sin\bigg(\frac{40}{b}\bigg)
ergibt den Wert
b = 3 × \frac{\sin (40)}{\sin (80)}
sobist ungefähr 2. Auflösen nachcin der Gleichung
\sin\bigg(\frac{80}{3}\bigg) = \sin\bigg(\frac{60}{c}\bigg)
ergibt den Wert
c = 3 × \frac{\sin (60)}{\sin (80)}
socist ungefähr 2,6. Auf ähnliche Weise lösen nachcin der Gleichung
c^2 = 3^2 + 4^2 - 34 × \cos (60)
ergibt den Wert
c^2 = 25 - 6 \text{ oder } c^2 = 19
socist ungefähr 4,4.