Die Hypotenuse ist einer von vielen Begriffen in Mathematik und Naturwissenschaften, die die meisten Menschen anscheinend gehört haben, aber nur wenige können sie richtig definieren oder beschreiben. Es bezieht sich auf die längste Seite von a rechtwinkliges Dreieck, eine Art geometrisches Konstrukt mit sehr einfachen Anforderungen, aber einer praktisch unbegrenzten Auswahl an Größen und Gesamtformen.
Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem Winkel von 90 Grad. Diese einzige Anforderung führt dazu, dass Dreiecke eine wunderbare Reihe einzigartiger mathematischer Eigenschaften besitzen, einschließlich der Möglichkeiten, Bestimmen Sie die Länge der Hypotenuse gegebene Informationen über die anderen beiden Seiten oder eine Seite und eine der beiden Nicht-90-Grad Winkel.
Eigenschaften rechter Dreiecke
Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist die längste Seite, die immer dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Längen der anderen beiden Seiten, genannt Beine, nahezu unendlich variieren, da die beiden anderen Winkel jeweils zwischen knapp über 0 Grad und knapp unter 90 Grad liegen können, sofern ihre Summe 90 beträgt. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Summe der Winkel jedes Dreiecks 180 Grad beträgt und ein rechter Winkel 90 Grad.
Die Hypotenusenformel, die Sie vielleicht schon kennen, ist der formale mathematische Ausdruck des Satz des Pythagoras. Es behauptet, dass die Summe der Quadrate der Längen der kürzeren beiden Seiten des Dreiecks a und b gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse c ist:
a^2 + b^2 = c^2
Wie berechnet man die Hypotenuse von den Seiten?
Sie können aus der Formel für den Satz des Pythagoras sehen, dass das Ziehen der Quadratwurzel jeder Seite eine explizite Formel für den Wert der Hypotenuse ergibt:
c = \sqrt{a^2 + b^2}
Wenn Sie die Werte für die Längen beider Schenkel des Dreiecks haben, benötigen Sie keine Informationen über die Größe der Winkel, um die Länge der Hypotenuse zu berechnen. Alles, was Sie tun müssen, ist jeden Beinwert unabhängig zu quadrieren, die Ergebnisse zu addieren und die Quadratwurzel dieser Summe zu ziehen, um die Antwort zu erhalten.
- Machen Sie nicht den Fehler, zuerst die Werte der Beine zu addieren und dann das Ergebnis zu quadrieren, sonst ist Ihre Antwort falsch.
So berechnen Sie die Hypotenuse von einer Seite und einem Winkel
Die obige Hypotenuse-Gleichung ist nur von Nutzen, wenn Sie die Länge beider Beine kennen. In einigen Situationen kann Ihnen die Länge von nur einem Bein zusammen mit der Größe eines der beiden nicht rechten Winkel gegeben werden. Dieser Winkel kann neben dem bekannten Bein liegen oder ihm gegenüber liegen (zum besseren Verständnis siehe ein Diagramm).
In einem richtig bezeichneten rechtwinkligen Dreieck liegt die Seite a zwischen dem Winkel B und dem rechten Winkel C, und die Seite b liegt zwischen den Winkeln A und C; die Hypotenuse c verbindet also A und B. Daraus ergeben sich die folgenden trigonometrischen Beziehungen:
sin A = a/c, sin B = b/c
cos A = b/c, cos B = a/c
tan A = a/b, tan B = b/a
Ein echtes Hypotenuse-Problem
Welche Beziehungen Sie verwenden, hängt davon ab, welchen Winkel und welche Seite Sie kennen. Als Referenz ist der Sinus eines Winkels der Wert der gegenüberliegenden Seite geteilt durch den der Hypotenuse; der Kosinus ist der Wert der angrenzenden Seite geteilt durch den der Hypotenuse; und die Tangente ist der Wert der gegenüberliegenden Seite geteilt durch den der benachbarten Seite.
Zum Beispiel, wenn die Seite ein = 15, und der Winkel EIN = 55 Grad, können Sie die Sinusfunktion Ihres Taschenrechners verwenden, um die Hypotenuse zu finden. Seit Sünde EIN = Klimaanlage, du hast c = ein/sin EIN = 15/Sünde 55. Dies ergibt 15/0,8192 = 18,31.