Haben Sie sich jemals gefragt, wie trigonometrische Funktionen wie Sinus und Cosinus zusammenhängen? Sie werden beide zum Berechnen von Seiten und Winkeln in Dreiecken verwendet, aber die Beziehung geht darüber hinaus.KofunktionsidentitätenGeben Sie uns spezifische Formeln, die zeigen, wie man zwischen Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens und Sekant und Kosekans umwandelt.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Der Sinus eines Winkels ist gleich dem Kosinus seines Komplements und umgekehrt. Dies gilt auch für andere Kofunktionen.
Eine einfache Möglichkeit, sich daran zu erinnern, welche Funktionen Kofunktionen sind, besteht darin, dass zwei trigonometrische FunktionenKofunktionenwenn einer von ihnen das Präfix "co-" davor hat. So:
- Sinus undcoSinus sindcoFunktionen.
- Tangente undcoTangente sindcoFunktionen.
- Sekante undcoSekante sindcoFunktionen.
Mit dieser Definition können wir zwischen Kofunktionen hin und her rechnen: Der Wert einer Winkelfunktion ist gleich dem Wert der Kofunktion des Komplements.
Das klingt kompliziert, aber anstatt über den Wert einer Funktion im Allgemeinen zu sprechen, verwenden wir ein konkretes Beispiel. DasSinuseines Winkels gleich demKosinusseiner Ergänzung. Dasselbe gilt für andere Kofunktionen: Der Tangens eines Winkels ist gleich dem Kotangens seines Komplements.
Denken Sie daran: Zwei Winkel sindergänztwenn sie sich auf 90 Grad addieren.
Kofunktionsidentitäten in Graden:
(Beachten Sie, dass 90° −xgibt uns ein Winkelkomplement.)
\sin (x) = \cos (90° - x) \\ \cos (x) = \sin (90° - x) \\ \tan (x) = \cot (90° - x) \\ \cot (x) = \tan (90° - x) \\ \sec (x) = \csc (90° - x)\\ \csc (x) = \sec (90° - x)
Kofunktionsidentitäten in Radianten
Denken Sie daran, dass wir auch Dinge in Bezug auf schreiben könnenBogenmaß, die SI-Einheit zum Messen von Winkeln. Neunzig Grad ist dasselbe wie π/2 Radiant, also können wir die Kofunktionsidentitäten auch wie folgt schreiben:
\sin(x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\\,\\ \cos(x) = \sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \tan(x) = \cot\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cot (x) = \tan\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \sec (x) = \csc\bigg(\frac{ π}{2} - x\bigg)\\ \,\\ \csc (x) = \sec\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg)
Kofunktionsidentitäten-Beweis
Das klingt alles schön, aber wie können wir beweisen, dass dies wahr ist? Wenn Sie es selbst an ein paar Beispieldreiecken testen, können Sie sich sicher fühlen, aber es gibt auch einen strengeren algebraischen Beweis. Beweisen wir die Kofunktionsidentitäten für Sinus und Cosinus. Wir werden im Bogenmaß arbeiten, aber es ist dasselbe wie bei der Verwendung von Grad.
Beweis:
\sin(x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg)
Greifen Sie zunächst in Ihrem Gedächtnis auf diese Formel zurück, denn wir werden sie in unserem Beweis verwenden:
\cos(A - B) = \cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B)
Ich habs? OK. Jetzt beweisen wir: Sünde(x) = cos (π/2 − x).
Wir können cos (π/2 −x) so was:
\cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos(x) + \sin\bigg(\frac{π }{2}\bigg)\sin (x) \\ \,\\ \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = 0 × \cos(x) + 1 ×\sin ( x)
weil wir wissen
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ und } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
So
\cos\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) = \sin(x)
Ta-da! Jetzt beweisen wir es mit Kosinus!
Beweis:
\cos(x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
Noch eine Explosion aus der Vergangenheit: Erinnern Sie sich an diese Formel?
\sin (A - B) = \sin (A)\cos (B) - \cos (A)\sin (B)
Wir sind dabei, es zu benutzen. Jetzt beweisen wir:
\cos(x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
Wir können sin (π/2 −x) so was:
\begin{ausgerichtet} \sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) &= \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) - \cos\ bigg(\frac{π}{2}\bigg)\sin (x) \\ &= 1 × \cos (x) - 0 × \sin (x) \end{aligned}
weil wir wissen
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ und } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
Also bekommen wir
\sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos(x)
Kofunktionsrechner
Probieren Sie selbst einige Beispiele aus, die mit Kofunktionen arbeiten. Wenn Sie jedoch nicht weiterkommen, bietet Math Celebrity einen Kofunktionsrechner, der Schritt-für-Schritt-Lösungen für Kofunktionsprobleme zeigt.
Viel Spaß beim Rechnen!
