In der Statistik führt die zufällige Stichprobenziehung von Daten aus einer Grundgesamtheit oft zur Erzeugung einer glockenförmigen Kurve, wobei der Mittelwert auf der Spitze der Glocke zentriert ist. Dies wird als Normalverteilung bezeichnet. Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass mit zunehmender Anzahl von Stichproben der gemessene Mittelwert dazu neigt, um den Mittelwert der Grundgesamtheit normalverteilt zu sein und die Standardabweichung kleiner wird. Der zentrale Grenzwertsatz kann verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, einen bestimmten Wert innerhalb einer Grundgesamtheit zu finden.
Sammeln Sie Proben und bestimmen Sie dann den Mittelwert. Angenommen, Sie möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Mann in den USA einen Cholesterinspiegel von 230 Milligramm pro Deziliter oder mehr hat. Wir würden damit beginnen, Proben von 25 Personen zu sammeln und ihren Cholesterinspiegel zu messen. Berechnen Sie nach dem Sammeln der Daten den Mittelwert der Stichprobe. Der Mittelwert wird durch Summieren jedes gemessenen Wertes und Dividieren durch die Gesamtzahl der Proben erhalten. Nehmen Sie in diesem Beispiel an, dass der Mittelwert 211 Milligramm pro Deziliter beträgt.
Berechnen Sie die Standardabweichung, die ein Maß für die "Spreizung" der Daten ist. Dies ist in wenigen einfachen Schritten möglich:
Zeichnen Sie eine Skizze der Normalverteilung und schattieren Sie mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit. Dem Beispiel folgend, möchten Sie die Wahrscheinlichkeit wissen, dass ein Mann einen Cholesterinspiegel von 230 Milligramm pro Deziliter oder mehr hat. Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, ermitteln Sie, wie viele Standardfehler vom Mittelwert 230 Milligramm pro Deziliter entfernt sind (Z-Wert):
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, einen Wert von 2,07 Standardfehlern über dem Mittelwert zu erhalten. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit ermitteln müssen, einen Wert innerhalb von 2,07 Standardabweichungen vom Mittelwert zu finden, ist z positiv. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit ermitteln müssen, einen Wert über 2,07 Standardabweichungen des Mittelwertes zu finden, dann ist z negativ.
Suchen Sie den Z-Wert in einer Standard-Normal-Wahrscheinlichkeitstabelle. Die erste Spalte auf der linken Seite zeigt die ganze Zahl und die erste Dezimalstelle des Z-Wertes. Die obere Zeile zeigt die dritte Dezimalstelle des Z-Werts. Folgen Sie dem Beispiel, da unser Z-Wert -2,07 ist, suchen Sie zuerst -2,0 in der linken Spalte und scannen Sie dann die obere Zeile nach dem Eintrag 0,07. Der Schnittpunkt dieser Spalten und Zeilen ist die Wahrscheinlichkeit. In diesem Fall beträgt der aus der Tabelle abgelesene Wert 0,0192 und damit die Wahrscheinlichkeit, einen Mann zu finden, der einen Cholesterinspiegel von 230 Milligramm pro Deziliter oder mehr hat, bei 1,92 Prozent.