Das Finden des größten gemeinsamen Faktors (GCF) zweier Zahlen ist in vielen mathematischen Situationen nützlich, insbesondere aber, wenn es um die Vereinfachung von Brüchen geht. Wenn Sie damit zu kämpfen haben oder gemeinsame Nenner finden, hilft Ihnen das Erlernen von zwei Methoden zum Finden gemeinsamer Faktoren dabei, das zu erreichen, was Sie sich vorgenommen haben. Zunächst ist es jedoch eine gute Idee, sich mit den Grundlagen der Faktoren vertraut zu machen. Dann können Sie sich zwei Ansätze ansehen, um gemeinsame Faktoren zu finden. Schließlich können Sie sich ansehen, wie Sie Ihr Wissen anwenden können, um einen Bruch zu vereinfachen.
Was ist ein Faktor?
Faktoren sind die Zahlen, die Sie miteinander multiplizieren, um eine andere Zahl zu erhalten. Zum Beispiel sind 2 und 3 Faktoren von 6, weil 2 × 3 = 6. Ebenso sind 3 und 3 Faktoren von 9, weil 3 × 3 = 9. Wie Sie vielleicht wissen, sind Primzahlen Zahlen, die keine anderen Faktoren als sie selbst haben und 1. 3 ist also eine Primzahl, denn die einzigen beiden ganzen Zahlen (Ganzzahlen), die sich miteinander multiplizieren können, um 3 als Antwort zu ergeben, sind 3 und 1. Ebenso ist 7 eine Primzahl, ebenso 13.
Aus diesem Grund ist es oft hilfreich, eine Zahl in „Hauptfaktoren“ zu unterteilen. Dies bedeutet, alle Primzahlfaktoren einer anderen Zahl zu finden. Es zerlegt die Zahl im Grunde in ihre grundlegenden „Bausteine“, was ein nützlicher Schritt in Richtung ist das Finden des größten gemeinsamen Faktors zweier Zahlen und ist auch von unschätzbarem Wert, wenn es um die Vereinfachung des Quadrats geht Wurzeln.
Den größten gemeinsamen Faktor finden: Methode eins
Die einfachste Methode, den größten gemeinsamen Faktor zweier Zahlen zu finden, besteht darin, einfach alle Faktoren jeder Zahl aufzulisten und nach der höchsten Zahl zu suchen, die beide gemeinsam haben. Stellen Sie sich vor, Sie möchten den höchsten gemeinsamen Faktor von 45 und 60 finden. Schauen Sie sich zunächst die verschiedenen Zahlen an, die Sie miteinander multiplizieren können, um 45 zu erhalten.
Am einfachsten beginnen Sie mit den beiden, von denen Sie wissen, dass sie auch für eine Primzahl funktionieren. In diesem Fall wissen wir 1 × 45 = 45, also wissen wir, dass 1 und 45 Faktoren von 45 sind. Dies sind der erste und der letzte Faktor von 45, sodass Sie von dort aus einfach ausfüllen können. Überlege als nächstes, ob 2 ein Faktor ist. Dies ist einfach, da jede gerade Zahl durch 2 teilbar ist und jede ungerade Zahl nicht. Wir wissen also, dass 2 kein Faktor von 45 ist. Was ist mit 3? Sie sollten erkennen können, dass 3 ein Faktor von 45 ist, denn 3 × 15 = 45 (Sie können immer auf dem aufbauen, was Sie haben wissen, um dies herauszufinden, zum Beispiel wissen Sie, dass 3 × 12 = 36, und das Addieren von Dreien führt Sie zu 45).
Als nächstes ist 4 ein Faktor von 45? Nein – Sie wissen, 11 × 4 = 44, also kann es nicht sein! Als nächstes, was ist mit 5? Dies ist ein weiteres einfaches Verfahren, da jede Zahl, die auf 0 oder 5 endet, durch 5 teilbar ist. Und damit können Sie leicht erkennen, dass 5 × 9 = 45. Aber 6 ist nicht gut, denn 7 × 6 = 42 und 8 × 6 = 48. Daraus können Sie auch sehen, dass 7 und 8 keine Faktoren von 45 sind. Wir wissen bereits, dass 9 ist, und es ist leicht zu erkennen, dass 10 und 11 keine Faktoren sind. Setzen Sie diesen Vorgang fort und Sie werden feststellen, dass 15 ein Faktor ist, aber nichts anderes.
Die Faktoren von 45 sind also: 1, 3, 5, 9, 15 und 45.
Für 60 durchlaufen Sie genau den gleichen Prozess. Diesmal ist die Zahl gerade (also 2 ist ein Faktor) und durch 10 teilbar (also 5 und 10 sind beides Faktoren), was die Sache etwas einfacher macht. Nachdem Sie den Prozess erneut durchlaufen haben, sollten Sie sehen, dass die Faktoren von 60 sind: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60.
Ein Vergleich der beiden Listen zeigt, dass 15 der größte gemeinsame Faktor von 45 und 60 ist. Diese Methode kann zeitaufwendig sein, aber sie ist einfach und wird immer funktionieren. Sie können auch mit jedem hohen gemeinsamen Faktor beginnen, den Sie sofort erkennen können, und dann einfach nach höheren Faktoren jeder Zahl suchen.
Den größten gemeinsamen Faktor finden: Methode zwei
Die zweite Methode zum Ermitteln des GCF für zwei Zahlen besteht darin, Primfaktoren zu verwenden. Der Prozess der Primfaktorzerlegung ist etwas einfacher und strukturierter, als jeden Faktor zu finden. Gehen wir den Prozess für 42 und 63 durch.
Der Prozess der Primfaktorzerlegung beinhaltet im Grunde genommen das Zerlegen der Zahl, bis nur noch Primzahlen übrig sind. Es ist am besten, mit der kleinsten Primzahl (zwei) zu beginnen und von dort aus zu arbeiten. Für 42 ist also leicht zu erkennen, dass 2 × 21 = 42 ist. Dann ab 21 arbeiten: Ist 2 ein Faktor? Nein. Ist 3? Ja! 3 × 7 = 21, und 3 und 7 sind beide Primzahlen. Dies bedeutet, dass die Primfaktoren von 42 2, 3 und 7 sind. Die erste „Pause“ nutzte 2, um auf 21 zu kommen, und die zweite teilte dies in 3 und 7 auf. Sie können dies überprüfen, indem Sie alle Ihre Faktoren miteinander multiplizieren und überprüfen, ob Sie die ursprüngliche Zahl erhalten: 2 × 3 × 7 = 42.
Für 63 ist 2 kein Faktor, aber 3 schon, denn 3 × 21 = 63. Auch hier zerfällt 21 in 3 und 7 – beide Primzahlen – Sie kennen also die Primfaktoren! Die Überprüfung zeigt, dass 3 × 3 × 7 = 63, wie erforderlich.
Den höchsten gemeinsamen Faktor finden Sie, indem Sie sich ansehen, welche Primfaktoren die beiden Zahlen gemeinsam haben. In diesem Fall hat 42 2, 3 und 7 und 63 hat 3, 3 und 7. Sie haben 3 und 7 gemeinsam. Um den höchsten gemeinsamen Faktor zu finden, multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren miteinander. In diesem Fall ist 3 × 7 = 21, also ist 21 der größte gemeinsame Faktor von 42 und 63.
Auch das vorherige Beispiel lässt sich auf diese Weise schneller lösen. Da 45 durch drei teilbar ist (3 × 15 = 45) und 15 auch durch drei teilbar ist (3 × 5 = 15), sind die Primfaktoren von 45 3, 3 und 5. Für 60 ist es durch zwei teilbar (2 × 30 = 60), 30 ist auch durch zwei teilbar (2 × 15 = 30), und dann bleibt 15 übrig, von dem wir wissen, dass es drei und fünf als Primfaktoren hat. 2, 2, 3 und 5 verlassen. Vergleicht man die beiden Listen, sind drei und fünf die gemeinsamen Primfaktoren, also ist der größte gemeinsame Faktor 3 × 5 = 15.
Für den Fall, dass es drei oder mehr gemeinsame Primfaktoren gibt, multiplizieren Sie sie alle auf die gleiche Weise, um den größten gemeinsamen Faktor zu finden.
Vereinfachen von Brüchen mit gemeinsamen Faktoren
Wenn Ihnen ein Bruch wie 32/96 präsentiert wird, können alle darauf folgenden Berechnungen sehr kompliziert werden, es sei denn, Sie finden eine Möglichkeit, den Bruch zu vereinfachen. Wenn Sie den niedrigsten gemeinsamen Faktor von 32 und 96 finden, erhalten Sie die Zahl, durch die Sie beide teilen müssen, um einen einfacheren Bruch zu erhalten. In diesem Fall:
32 = 2 × 16 \\ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \\ \text{So} 32 = 2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Für 96 ergibt der Prozess:
96 = 48 × 2 \\ 48 = 24 × 2 \\ 24 = 12 × 2 \\ 12 = 6 × 2 \\ 6 = 3 × 2 \\ \text{So } 96 = 2^5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Es sollte klar sein, dass 25 = 32 ist der höchste gemeinsame Faktor. Dividiert man beide Teile des Bruchs durch 32, erhält man:
\frac{32}{96} = \frac{1}{3}
Einen gemeinsamen Nenner zu finden ist ein ähnlicher Prozess. Stellen Sie sich vor, Sie müssten die Brüche 15/45 und 40/60 addieren. Aus dem ersten Beispiel wissen wir, dass 15 der höchste gemeinsame Faktor von 45 und 60 ist, also können wir sie sofort als 5/15 und 10/15 ausdrücken. Da 3 × 5 = 15 und beide Zähler auch durch fünf teilbar sind, können wir beide Teile beider Brüche durch fünf teilen, um 1 /3 und 2/3 zu erhalten. Jetzt sind sie viel einfacher hinzuzufügen und zu sehen
\frac{15}{45} + \frac{40}{60} = 1