Wie man verschiedene Beweisarten in der Geometrie erklärt

Seien Sie ehrlich: Beweise sind nicht einfach. Und in der Geometrie scheint es noch schlimmer zu werden, denn jetzt muss man Bilder in logische Aussagen verwandeln und aus einfachen Zeichnungen Schlussfolgerungen ziehen. Die verschiedenen Arten von Beweisen, die Sie in der Schule lernen, können zunächst überwältigend sein. Aber sobald Sie jeden Typ verstanden haben, wird es Ihnen viel leichter fallen, sich darüber Gedanken zu machen, wann und warum Sie verschiedene Arten von Beweisen in der Geometrie verwenden sollten.

Der direkte Beweis funktioniert wie ein Pfeil. Sie beginnen mit den gegebenen Informationen und bauen darauf auf, in Richtung der Hypothese, die Sie beweisen möchten. Beim direkten Beweis verwenden Sie Schlussfolgerungen, Regeln aus der Geometrie, Definitionen geometrischer Formen und mathematische Logik. Der direkte Beweis ist die gängigste Beweisart und für viele Studenten der bevorzugte Beweisstil zur Lösung eines geometrischen Problems. Wenn Sie beispielsweise wissen, dass Punkt C der Mittelpunkt der Geraden AB ist, können Sie beweisen, dass AC = CB durch unter Verwendung der Definition des Mittelpunkts: Der Punkt, der von jedem Ende der Linie gleich weit entfernt ist Segment. Dies ist die Abarbeitung der Definition des Mittelpunkts und gilt als direkter Beweis.

Der indirekte Beweis ist wie ein Bumerang; es ermöglicht Ihnen, das Problem umzukehren. Anstatt nur mit den gegebenen Aussagen und Formen zu arbeiten, ändern Sie das Problem, indem Sie die Aussage, die Sie beweisen möchten, nehmen und annehmen, dass sie nicht wahr ist. Von dort aus zeigen Sie, dass es unmöglich nicht wahr sein kann, was ausreicht, um zu beweisen, dass es wahr ist. Obwohl es verwirrend klingt, kann es viele Beweise vereinfachen, die durch einen direkten Beweis schwer zu beweisen scheinen. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie haben eine horizontale Linie AC, die durch Punkt B verläuft, und bei Punkt B befindet sich eine Linie senkrecht zu AC mit Endpunkt D, die als Linie BD bezeichnet wird. Wenn Sie beweisen möchten, dass das Winkelmaß ABD 90 Grad beträgt, können Sie zunächst überlegen, was es bedeuten würde, wenn das ABD-Maß nicht 90 Grad wäre. Dies würde Sie zu zwei unmöglichen Schlussfolgerungen führen: AC und BD sind nicht senkrecht und AC ist keine Linie. Aber beides waren Tatsachen, die in dem Problem angegeben wurden, was widersprüchlich ist. Dies reicht aus, um zu beweisen, dass ABD 90 Grad beträgt.

Manchmal stoßen Sie auf ein Problem, bei dem Sie beweisen müssen, dass etwas nicht stimmt. In einem solchen Fall können Sie die Startrampe verwenden, um sich davon zu befreien, sich direkt mit dem Problem zu befassen, und stattdessen ein Gegenbeispiel liefern, um zu zeigen, dass etwas nicht stimmt. Wenn Sie ein Gegenbeispiel verwenden, brauchen Sie nur ein gutes Gegenbeispiel, um Ihren Standpunkt zu beweisen, und der Beweis ist gültig. Wenn Sie beispielsweise die Aussage „Alle Trapeze sind Parallelogramme“ validieren oder ungültig machen müssen, müssen Sie nur ein Beispiel für ein Trapez angeben, das kein Parallelogramm ist. Sie können dies tun, indem Sie ein Trapez mit nur zwei parallelen Seiten zeichnen. Die Existenz der gerade gezeichneten Form würde die Aussage „Alle Trapeze sind Parallelogramme“ widerlegen.

So wie Geometrie eine visuelle Mathematik ist, ist das Flussdiagramm oder Flussbeweis eine visuelle Art des Beweises. Bei einem Flow Proof beginnen Sie damit, alle Ihnen bekannten Informationen nebeneinander aufzuschreiben oder zu zeichnen. Ziehen Sie von hier aus Schlussfolgerungen und schreiben Sie sie in die darunter liegende Zeile. Auf diese Weise „stapeln“ Sie Ihre Informationen und machen so etwas wie eine auf dem Kopf stehende Pyramide. Sie verwenden die Informationen, die Sie haben, um in den folgenden Zeilen weitere Schlussfolgerungen zu ziehen, bis Sie auf den Grund kommen, eine einzige Aussage, die das Problem beweist. Zum Beispiel könnten Sie eine Linie L haben, die den Punkt P der Linie MN schneidet, und die Frage fordert Sie auf, MP = PN zu beweisen, da L MN halbiert. Sie könnten damit beginnen, die gegebenen Informationen zu schreiben, indem Sie oben „L halbiert MN bei P“ schreiben. Schreiben Sie darunter die Informationen, die sich aus den gegebenen Informationen ergeben: Bisektionen ergeben zwei deckungsgleiche Segmente einer Geraden. Schreiben Sie neben diese Aussage eine geometrische Tatsache, die Ihnen beim Beweis hilft; bei diesem Problem hilft die Tatsache, dass kongruente Liniensegmente gleich lang sind. Schreibe das. Unter diese beiden Informationen können Sie die Schlussfolgerung schreiben, die natürlich folgt: MP = PN.