Ein Produkt ist das Ergebnis der mathematischen Multiplikationsoperation. Wenn Sie Zahlen miteinander multiplizieren, erhalten Sie ihr Produkt. Die anderen grundlegenden arithmetischen Operationen sind Addition, Subtraktion und Division, und ihre Ergebnisse werden Summe, Differenz bzw. Quotient genannt. Jede Operation hat auch spezielle Eigenschaften, die bestimmen, wie die Zahlen angeordnet und kombiniert werden können. Bei der Multiplikation ist es wichtig, sich dieser Eigenschaften bewusst zu sein, damit Sie Zahlen multiplizieren und die Multiplikation mit anderen Operationen kombinieren können, um die richtige Antwort zu erhalten.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Die Produktbedeutung in der Mathematik ergibt sich aus der Multiplikation von zwei oder mehr Zahlen. Um das richtige Produkt zu erhalten, sind folgende Eigenschaften wichtig:
- Die Reihenfolge der Zahlen spielt keine Rolle.
- Das Gruppieren der Zahlen mit Klammern hat keine Auswirkung.
- Das Multiplizieren zweier Zahlen mit einem Multiplikator und das anschließende Addieren entspricht dem Multiplizieren ihrer Summe mit dem Multiplikator.
- Multiplizieren mit 1 lässt eine Zahl unverändert.
Die Bedeutung des Produkts einer Zahl
Das Produkt einer Zahl und einer oder mehrerer anderer Zahlen ist der Wert, den man erhält, wenn die Zahlen miteinander multipliziert werden. Zum Beispiel ist das Produkt von 2, 5 und 7
2 × 5 × 7 = 70
Während das durch Multiplizieren bestimmter Zahlen erhaltene Produkt immer gleich ist, sind Produkte nicht eindeutig. Das Produkt von 6 und 4 ist immer 24, aber auch das Produkt von 2 und 12 oder 8 und 3. Egal, welche Zahlen Sie multiplizieren, um ein Produkt zu erhalten, die Multiplikationsoperation hat vier Eigenschaften, die sie von. unterscheiden andere grundlegende arithmetische Operationen, Addition, Subtraktion und Division haben einige dieser Eigenschaften gemeinsam, aber jede hat eine einzigartige Kombination.
Die arithmetische Eigenschaft der Kommutierung
Kommutierung bedeutet, dass die Bedingungen einer Operation umgeschaltet werden können und die Reihenfolge der Zahlen für die Antwort keinen Unterschied macht. Wenn Sie ein Produkt durch Multiplikation erhalten, spielt die Reihenfolge, in der Sie die Zahlen multiplizieren, keine Rolle. Das gleiche gilt für die Addition. Sie können 8 × 2 multiplizieren, um 16 zu erhalten, und Sie erhalten die gleiche Antwort mit 2 × 8. In ähnlicher Weise ergibt 8 + 2 10, die gleiche Antwort wie 2 + 8.
Subtraktion und Division haben keine Kommutierungseigenschaft. Wenn Sie die Reihenfolge der Zahlen ändern, erhalten Sie eine andere Antwort. Beispielsweise,
8 ÷ 2 = 4 \text{ aber } 2 ÷ 8 = 0.25
Für die Subtraktion,
8 - 2 = 6 \text{ aber } 2 - 8 = -6
Division und Subtraktion sind keine kommutativen Operationen.
Das Verteilungsvermögen
Verteilung in der Mathematik bedeutet, dass die Multiplikation einer Summe mit einem Multiplikator die gleiche Antwort liefert wie die Multiplikation der einzelnen Zahlen der Summe mit dem Multiplikator und dann das Addieren. Beispielsweise,
3 × (4 + 2) = 18 \text{, und } (3 × 4) + (3 × 2) = 18
Das Addieren vor dem Multiplizieren ergibt die gleiche Antwort wie das Verteilen des Multiplikators auf die zu addierenden Zahlen und das anschließende Multiplizieren vor dem Addieren.
Division und Subtraktion haben nicht die Verteilungseigenschaft. Beispielsweise,
3 ÷ (4 - 2) = 1,5 \text{ aber } (3 ÷ 4) - (3 ÷ 2) = -0,75
Subtrahieren vor dem Dividieren ergibt eine andere Antwort als das Dividieren vor dem Subtrahieren.
Die Assoziativeigenschaft für Produkte und Summen
Die assoziative Eigenschaft bedeutet, dass Sie, wenn Sie eine arithmetische Operation mit mehr als zwei Zahlen durchführen, zwei der Zahlen zuordnen oder in Klammern setzen können, ohne die Antwort zu beeinflussen. Produkte und Summen haben die assoziative Eigenschaft, Differenzen und Quotienten nicht.
Wenn beispielsweise eine arithmetische Operation mit den Zahlen 12, 4 und 2 durchgeführt wird, kann die Summe berechnet werden als
(12 + 4) + 2 = 18 \text{ oder } 12 + (4 + 2) = 18
Ein Produktbeispiel ist
(12 × 4) × 2 = 96 \text{ oder } 12 × (4 × 2) = 96
Aber für Quotienten
\frac{12 ÷ 4}{2} = 1,5 \text{ while } \frac{12}{4 ÷ 2} = 6
und für Unterschiede
(12 - 4) - 2 = 6 \text{ while } 12 - (4 - 2) = 10
Multiplikation und Addition haben die assoziative Eigenschaft, Division und Subtraktion nicht.
Operative Identitäten – Differenz und Summe vs. Produkt und Quotient
Wenn Sie eine arithmetische Operation für eine Zahl und eine operative Identität ausführen, bleibt die Zahl unverändert. Alle vier grundlegenden arithmetischen Operationen haben Identitäten, aber sie sind nicht gleich. Bei Subtraktion und Addition ist die Identität Null. Für Multiplikation und Division ist die Identität eins.
Zum Beispiel für eine Differenz 8 − 0 = 8. Die Nummer bleibt identisch. Das gleiche gilt für eine Summe, 8 + 0 = 8. Für ein Produkt ist 8 × 1 = 8 und für einen Quotienten 8 ÷ 1 = 8. Produkte und Summen haben die gleichen grundlegenden Eigenschaften, außer dass sie unterschiedliche operative Identitäten haben. Infolgedessen verfügen die Multiplikation und ihre Produkte über einzigartige Eigenschaften, die Sie kennen müssen, um die richtigen Antworten zu erhalten.