Eine mathematische Folge ist eine Reihe von Zahlen, die in einer Reihenfolge angeordnet sind. Ein Beispiel wäre 3, 6, 9, 12,... Ein anderes Beispiel wäre 1, 3, 9, 27, 81,... Die drei Punkte bedeuten, dass der Satz fortgesetzt wird. Jede Zahl in der Menge wird als Begriff bezeichnet. Eine arithmetische Folge ist eine, bei der jeder Term durch eine Konstante, die Sie zu jedem Term hinzufügen, von dem vorherigen getrennt ist. Im ersten Beispiel ist die Konstante 3; Sie addieren 3 zu jedem Begriff, um den nächsten Begriff zu erhalten. Die zweite Sequenz ist nicht arithmetisch, da Sie diese Regel nicht anwenden können, um die Terme zu erhalten; die Zahlen scheinen durch 3 getrennt zu sein, aber in diesem Fall wird jede Zahl mit 3 multipliziert, was den Unterschied (d. h. was Sie erhalten würden, wenn Sie Terme voneinander subtrahieren würden) viel mehr als 3 ausmacht.
Es ist einfach, eine arithmetische Folge zu finden, wenn sie nur wenige Terme lang ist, aber was ist, wenn sie Tausende von Termen hat und Sie einen in der Mitte finden möchten? Sie könnten die Sequenz mit der Hand aufschreiben, aber es gibt einen viel einfacheren Weg. Sie verwenden die arithmetische Folgeformel.
Wie man die arithmetische Folgeformel herleitet
Wenn Sie den ersten Term in einer arithmetischen Folge mit dem Buchstaben bezeichnen denein, und Sie lassen den gemeinsamen Unterschied zwischen den Begriffen seind, können Sie die Sequenz in dieser Form schreiben:
a, (a + d), (a + 2d), (a + 3d),.. .
Wenn Sie den n-ten Term in der Folge als bezeichnenxnein, können Sie eine allgemeine Formel dafür schreiben:
x_n = a + d (n - 1)
Verwenden Sie dies, um den 10. Term in der Folge 3, 6, 9, 12, zu finden.. .
x_{10} = 3 + 3(10 - 1) = 30
Überprüfen Sie, indem Sie die Begriffe nacheinander aufschreiben, und Sie werden sehen, dass es funktioniert.
Ein Beispiel für ein arithmetisches Folgenproblem
In vielen Problemen wird Ihnen eine Zahlenfolge präsentiert, und Sie müssen die arithmetische Folgenformel verwenden, um eine Regel zu schreiben, um einen beliebigen Term in dieser bestimmten Folge abzuleiten.
Schreiben Sie beispielsweise eine Regel für die Sequenz 7, 12, 17, 22, 27,... Der gemeinsame Unterschied (d) ist 5 und der erste Term (ein) ist 7. DasneinTerm ist durch die arithmetische Folgeformel gegeben, Sie müssen also nur die Zahlen einsetzen und vereinfachen:
\begin{aligned} x_n &= a + d (n - 1) \\ &= 7 + 5(n - 1) \\ &= 7 + 5n - 5 \\ &= 2 + 5n \end{aligned}
Dies ist eine arithmetische Folge mit zwei Variablen,xneinundnein. Wer das eine kennt, kann das andere finden. Wenn Sie beispielsweise nach dem 100. Term suchen (x100), dannnein= 100 und der Term ist 502. Auf der anderen Seite, wenn Sie wissen möchten, welcher Term die Zahl 377 ist, ordnen Sie die arithmetische Folgeformel um und lösen Sie nachnein:
\begin{aligned} n &= \frac{x_n - 2}{5} \\ \,\\ &= \frac{377 - 2}{5} \\ \,\\ &= 75 \end{aligned}
Die Zahl 377 ist der 75. Begriff in der Folge.