Die Fähigkeit, den Mittel- oder Mittelwert einer Zahlengruppe zu berechnen, ist in jedem Lebensbereich wichtig. Wenn Sie ein Professor sind, der Prüfungsergebnissen Briefnoten zuordnet und traditionell eine Note von B- bis a. vergibt Mitte der Packung, dann müssen Sie eindeutig wissen, wie die Mitte der Packung aussieht numerisch. Sie benötigen auch eine Möglichkeit, Punktzahlen als Ausreißer zu identifizieren, damit Sie feststellen können, wann jemand eine A oder A+ verdient (außerhalb der perfekten Punktzahl natürlich) und was eine Nichtbeurteilung verdient.
Aus diesem und verwandten Gründen enthalten vollständige Daten zu den Durchschnittswerten Informationen darüber, wie eng die Ergebnisse im Allgemeinen um den Durchschnittswert geclustert sind. Diese Informationen werden übermittelt mit Standardabweichung und damit verbunden die Abweichung einer statistischen Stichprobe.
Variabilitätsmaße
Sie haben mit ziemlicher Sicherheit den Begriff "Durchschnitt" in Bezug auf eine Reihe von Zahlen oder Datenpunkten gehört oder gesehen, und Sie haben wahrscheinlich eine Vorstellung davon, was er in der Alltagssprache bedeutet. Wenn Sie zum Beispiel lesen, dass die durchschnittliche Größe einer Amerikanerin etwa 5' 4" beträgt, schließen Sie sofort, dass immediately "Durchschnitt" bedeutet "typisch", und dass etwa die Hälfte der Frauen in den Vereinigten Staaten größer als diese ist, während etwa die Hälfte größer ist kürzer.
Mathematisch, durchschnittlich und bedeuten sind genau die gleichen: Sie addieren alle Werte in einem Set und dividieren durch die Anzahl der Elemente im Set. Wenn beispielsweise eine Gruppe von 25 Punkten bei einem 10-Fragen-Test zwischen 3 und 10 liegt und sich auf 196 summiert, beträgt die durchschnittliche (mittlere) Punktzahl 196/25 oder 7,84.
Der Median ist der Mittelwert in einem Satz, die Zahl, um die die Hälfte der Werte darüber und die Hälfte der Werte darunter liegt. Es liegt normalerweise nahe am Durchschnitt (Mittelwert), ist aber nicht dasselbe.
Abweichungsformel
Wenn Sie einen Satz von 25 Scores wie die oben genannten betrachten und fast nur die Werte 7, 8 und 9 sehen, ist es intuitiv sinnvoll, dass der Durchschnitt bei 8 liegen sollte. Aber was ist, wenn Sie fast nur die Punktzahlen 6 und 10 sehen? Oder fünf Scores von 0 und 20 Scores von 9 oder 10? All dies kann den gleichen Durchschnitt ergeben.
Die Varianz ist ein Maß dafür, wie weit die Punkte in einem Datensatz um den Mittelwert gestreut sind. Um die Varianz von Hand zu berechnen, nehmen Sie die arithmetische Differenz zwischen jedem der Datenpunkte und dem Durchschnitt, quadrieren Sie sie, addieren Sie die Summe der Quadrate und dividieren Sie das Ergebnis durch eins weniger als die Anzahl der Datenpunkte im Stichprobe. Ein Beispiel dafür wird später gegeben. Sie können auch Programme wie Excel oder Websites wie Rapid Tables verwenden (weitere Websites finden Sie unter Ressourcen).
Die Varianz wird mit σ. bezeichnet2, ein griechisches "Sigma" mit einem Exponenten von 2.
Standardabweichung
Das Standardabweichung einer Stichprobe ist einfach die Quadratwurzel der Varianz. Der Grund, warum Quadrate bei der Berechnung der Varianz verwendet werden, besteht darin, dass Sie einfach die individuellen Unterschiede zwischen dem Durchschnitt und jedem addieren einzelnen Datenpunkt ist die Summe immer Null, da einige dieser Differenzen positiv und einige negativ sind und sich gegenseitig aufheben aus. Das Quadrieren jedes Termes beseitigt diese Falle.
Stichprobenvarianz und Standardabweichungsproblem
Angenommen, Sie erhalten die 10 Datenpunkte:
4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9
Ermitteln Sie den Durchschnitt, die Varianz und die Standardabweichung.
Addieren Sie zuerst die 10 Werte und teilen Sie sie durch 10, um den Durchschnitt (Mittelwert) zu erhalten:
70/10 = 7.0
Um die Varianz zu erhalten, quadrieren Sie die Differenz zwischen jedem Datenpunkt und dem Durchschnitt, addieren Sie diese zusammen und teilen Sie das Ergebnis durch (10 - 1) oder 9:
- 7 - 4 = 3; 32 = 9
- 7 - 7 = 0; 02 = 0
- 7 - 10 = -3; (-3)2 = 9.. .
9 + 0 + 9 +... + 4 = 36
σ2= 36/9 = 4.0
Die Standardabweichung σ ist nur die Quadratwurzel von 4,0 oder 2,0.