Unsicherheit berechnen

Die Quantifizierung der Unsicherheit Ihrer Messungen ist ein wesentlicher Bestandteil der Wissenschaft. Keine Messung kann perfekt sein, und das Verständnis der Grenzen der Genauigkeit Ihrer Messungen hilft sicherzustellen, dass Sie daraus keine ungerechtfertigten Schlussfolgerungen ziehen. Die Grundlagen der Unsicherheitsbestimmung sind recht einfach, aber die Kombination zweier unsicherer Zahlen wird komplizierter. Die gute Nachricht ist, dass Sie viele einfache Regeln befolgen können, um Ihre Unsicherheiten auszugleichen, unabhängig davon, welche Berechnungen Sie mit den ursprünglichen Zahlen durchführen.

TL; DR (zu lang; nicht gelesen)

Wenn Sie Größen mit Unsicherheiten addieren oder subtrahieren, addieren Sie die absoluten Unsicherheiten. Wenn Sie multiplizieren oder dividieren, addieren Sie die relativen Unsicherheiten. Wenn Sie mit einem konstanten Faktor multiplizieren, multiplizieren Sie absolute Unsicherheiten mit demselben Faktor oder tun nichts mit relativen Unsicherheiten. Wenn Sie die Potenz einer Zahl mit einer Unsicherheit nehmen, multiplizieren Sie die relative Unsicherheit mit der Zahl in der Potenz.

Bevor Sie Ihre Unsicherheit kombinieren oder etwas damit machen, müssen Sie die Unsicherheit in Ihrer ursprünglichen Messung bestimmen. Dies beinhaltet oft eine subjektive Beurteilung. Wenn Sie beispielsweise den Durchmesser einer Kugel mit einem Lineal messen, müssen Sie sich überlegen, wie genau Sie die Messung wirklich ablesen können. Sind Sie sicher, dass Sie vom Rand des Balls aus messen? Wie genau können Sie das Lineal lesen? Dies sind die Arten von Fragen, die Sie sich bei der Schätzung von Unsicherheiten stellen müssen.

In einigen Fällen können Sie die Unsicherheit leicht abschätzen. Wenn Sie beispielsweise etwas auf einer Waage wiegen, die auf 0,1 g genau misst, können Sie sicher abschätzen, dass die Messung eine Unsicherheit von ±0,05 g hat. Denn ein 1,0-g-Messwert könnte wirklich alles von 0,95 g (aufgerundet) bis knapp unter 1,05 g (abgerundet) betragen. In anderen Fällen müssen Sie es anhand mehrerer Faktoren so gut wie möglich einschätzen.

• Bedeutende Zahlen:Im Allgemeinen werden absolute Unsicherheiten nur mit einer signifikanten Zahl angegeben, außer gelegentlich, wenn die erste Zahl 1 ist. Aufgrund der Bedeutung einer Unsicherheit ist es nicht sinnvoll, Ihre Schätzung genauer als Ihre Unsicherheit anzugeben. Zum Beispiel macht eine Messung von 1,543 ± 0,02 m keinen Sinn, da man sich der zweiten Dezimalstelle nicht sicher ist, die dritte also im Wesentlichen bedeutungslos ist. Das richtige Ergebnis für die Angabe ist 1,54 m ± 0,02 m.

Die Angabe Ihrer Unsicherheit in den Einheiten der ursprünglichen Messung – zum Beispiel 1,2 ± 0,1 g oder 3,4 ± 0,2 cm – ergibt die „absolute“ Unsicherheit. Mit anderen Worten, es sagt Ihnen explizit, um welchen Betrag die ursprüngliche Messung falsch sein könnte. Die relative Unsicherheit gibt die Unsicherheit in Prozent des ursprünglichen Wertes an. Erarbeiten Sie dies mit:

Also im obigen Beispiel:

Der Wert kann daher mit 3,4 cm ± 5,9 % angegeben werden.

Berechnen Sie die Gesamtunsicherheit, wenn Sie zwei Größen mit ihren eigenen Unsicherheiten addieren oder subtrahieren, indem Sie die absoluten Unsicherheiten addieren. Beispielsweise:

Beim Multiplizieren oder Dividieren von Größen mit Unsicherheiten addieren Sie die relativen Unsicherheiten. Beispielsweise:

Wenn Sie eine Zahl mit einer Unsicherheit mit einem konstanten Faktor multiplizieren, variiert die Regel je nach Art der Unsicherheit. Wenn Sie eine relative Unsicherheit verwenden, bleibt dies gleich:

Wenn Sie absolute Unsicherheiten verwenden, multiplizieren Sie die Unsicherheit mit demselben Faktor:

Wenn Sie eine Potenz eines Wertes mit einer Unsicherheit nehmen, multiplizieren Sie die relative Unsicherheit mit der Zahl in der Potenz. Beispielsweise:

Sie folgen der gleichen Regel für gebrochene Potenzen.