Trinome sind Polynome mit drei Termen. Es gibt einige nette Tricks, um Trinome zu faktorisieren; Bei all diesen Methoden können Sie eine Zahl in alle möglichen Faktorenpaare einbeziehen. Es lohnt sich zu wiederholen, dass es bei diesen Problemen entscheidend ist, sich daran zu erinnern, dass Sie alle möglichen Faktorenpaare und nicht nur Primfaktoren berücksichtigen müssen. Wenn Sie beispielsweise die Zahl 24 faktorisieren, sind alle möglichen Paare 1, 24; 2, 12; 3, 8 und 4, 6.
Vorbehalt 1
Achten Sie auf die Reihenfolge, in der das Trinom geschrieben wird. Stellen Sie sicher, dass Sie es in absteigender Reihenfolge schreiben, was bedeutet, dass der höchste Exponent der Variablen (wie "x") auf der linken Seite sequentiell nach unten geht, wenn Sie sich nach rechts bewegen.
Beispiel 1: – 10 – 3x+ x^2 muss umgeschrieben werden als x^2 – 3x – 10
Beispiel 2: – 11x + 2x^2 – 6 muss umgeschrieben werden als 2x^2 – 11x – 6
Vorbehalt 2
Denken Sie daran, alle Faktoren herauszunehmen, die allen Termen im Trinom gemeinsam sind. Der gemeinsame Faktor wird als GCF (Greatest Common Factor) bezeichnet.
Beispiel 1: 2x^3y – 8x^2y^2 – 6xy^3 \= (2xy) x^2 – (2xy) 4xy – (2xy) 3y^2 \= 2xy (x^2 – 4xy - 3y^2)
Versuchen Sie, wenn möglich, weiter zu faktorisieren. In diesem Fall kann das verbleibende Trinom nicht weiter faktorisiert werden; daher ist dies die Antwort in ihrer einfachsten Form.
Beispiel 2: 3x^2 – 9x – 30 \= 3(x^2 – 3x – 10) Sie können dieses Trinom (x^2 – 3x – 10) weiter faktorisieren. Die richtige Antwort auf das Problem ist 3(x + 2)(x – 5); die Methode, um dies zu erreichen, wird in Abschnitt 3 diskutiert.
Trick 1 – Versuch und Irrtum
Betrachten Sie das Trinom (x^2 - 3x – 10). Ihr Ziel ist es, die Zahl 10 so in Paare von Faktoren aufzuteilen, dass, wenn Sie diese beiden Faktoren von 10 addieren, sie eine Differenz von 3 haben, was dem Koeffizienten des Mittelterms entspricht. Um dies zu erreichen, wissen Sie, dass einer der beiden Faktoren positiv ist, der andere negativ. Schreiben Sie (x + )( x - ) und lassen Sie in jeder Klammer ein Leerzeichen für den zweiten Term. Die Faktorpaare von 10 sind 1, 10 und auch 2, 5. Die einzige Möglichkeit, -3 zu erhalten, indem die beiden Faktoren addiert werden, besteht darin, -5 und 2 zu wählen. Auf diese Weise erhalten Sie -3 für den Koeffizienten des Mittelterms. Füllen Sie die leeren Stellen aus. Ihre Antwort ist (x + 2)(x – 5)
Trick 2 – Britische Methode
Diese Methode ist hilfreich, wenn das Trinom einen führenden Koeffizienten hat, z. B. 2x^2 – 11x – 6, wobei 2 der "führende" Koeffizient ist, da er zur führenden oder ersten Variablen gehört. Die führende Variable ist die mit dem höchsten Exponenten und muss immer zuerst geschrieben werden und sitzt links.
Multiplizieren Sie den ersten Term (2x^2) und den letzten Term (6) ohne Vorzeichen, um das Produkt 12x^2 zu erhalten. Faktorisieren Sie den Koeffizienten 12 in alle möglichen Paare von Faktoren, unabhängig davon, ob sie Primzahlen sind. Beginnen Sie immer mit 1. Ihre Faktoren sollten 1, 12 sein; 2, 6 und 3, 4. Nehmen Sie jedes Paar und sehen Sie, ob es den Koeffizienten des Mittelterms -11 ergibt, wenn Sie sie addieren oder subtrahieren. Wenn Sie 1 und 12 auswählen, ergibt eine Subtraktion 11. Passen Sie das Zeichen entsprechend an; in diesem Problem ist der mittlere Term -11x, daher müssen die Paare -12x und 1x sein, was einfach als x geschrieben wird.
Schreiben Sie alle Begriffe deutlich auf: 2x^2 – 12x + x – 6 Für jedes Begriffspaar werden gemeinsame Begriffe herausgerechnet. 2x (x – 6) + (x – 6) oder 2x (x – 6) + (1)(x – 6)
Ziehen Sie gemeinsame Faktoren heraus. (x – 6)(2x + 1)
Fazit
Nachdem Sie das Factoring abgeschlossen haben, verwenden Sie FOIL (die erste, innere, äußere, letzte Methode zur Multiplikation zweier Binome), um zu überprüfen, ob Sie die richtige Antwort haben. Sie sollten das ursprüngliche Polynom erhalten, wenn Sie FOIL verwenden, um zu bestätigen, dass Ihre Faktorisierung korrekt ist.