Zählen Sie an Ihren Fingern von eins bis 10: 1, 2, 3... 10. Jeder Ihrer Finger stellt eine Zahl dar, und genauso wie Sie nur einen ganzen Finger haben können, können Sie auf jedem Finger nur eine ganze Zahl darstellen. Das ist die Bedeutung von ganzen Zahlen in Mathematik und Algebra: Ganze Zahlen. Keine Brüche erlaubt! Ganzzahlen zählen Zahlen und enthalten 0.
Nehmen wir an, Sie möchten jetzt von -1 bis -10 zählen, und um diese Zahlen darzustellen, legen Sie Ihre Finger auf den Kopf. Zähle noch einmal: -1, -2, -3... -10. Es gilt die gleiche Regel. Jeder Ihrer Finger stellt eine Zahl dar, und genau wie Sie (hoffentlich) keinen Teilfinger haben, haben Sie nie eine Teilzahl oder einen Bruch. Mit anderen Worten, ganze Zahlen können negativ sein, aber keine Bruchzahlen. Jede Zahl mit einem Bruch – und das schließt Dezimalbrüche ein – ist keine ganze Zahl.
Die Arithmetik der ganzen Zahlen
Arithmetik ist Mathematik im Grunde und umfasst vier Operationen, die die meisten Menschen fast täglich verwenden. Sie sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Sie können sowohl mit positiven als auch mit negativen ganzen Zahlen rechnen, die auch als vorzeichenbehaftete Zahlen bekannt sind, oder Sie kann dies mit absoluten Werten tun, was bedeutet, dass Sie die Vorzeichen ignorieren und davon ausgehen, dass die ganzen Zahlen alle positiv sind. Fast jeder lernt in den ersten Jahren der Grundschule die Rechenregeln der vorzeichenbehafteten Zahlen:
Ganzzahlen hinzufügen – Addieren Sie zwei positive oder negative Ganzzahlen zusammen, um eine größere Zahl zu erhalten und das Vorzeichen beizubehalten. Wenn Sie eine positive und eine negative ganze Zahl haben, "addieren" Sie sie, indem Sie die kleinere von der größeren subtrahieren und das Vorzeichen der größeren behalten.
Subtrahieren von ganzen Zahlen – Wenn Sie zwei ganze Zahlen mit demselben Vorzeichen subtrahieren, erhalten Sie eine kleinere ganze Zahl, und wenn Sie zwei ganze Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen subtrahieren, erhalten Sie eine größere. Das Subtrahieren einer negativen Ganzzahl entspricht dem Ändern des Vorzeichens der Ganzzahl in eine positive und der Addition.
Multiplizieren und Dividieren von ganzen Zahlen – Die Regel für Multiplikation und Division ist leicht zu merken. Beim Multiplizieren und Dividieren von Zahlen mit gleichen Vorzeichen ist das Ergebnis immer positiv. Wenn die Zahlen entgegengesetzte Vorzeichen haben, ist das Ergebnis negativ.
Beachten Sie, dass Addition und Subtraktion inverse Operationen sind, ebenso wie Multiplikation und Division. Wenn Sie eine ganze Zahl zu 0 addieren und dann dieselbe ganze Zahl subtrahieren, bleiben Sie bei 0. Wenn Sie eine beliebige Zahl außer 0 mit einer ganzen Zahl multiplizieren und dann durch dieselbe ganze Zahl dividieren, bleibt die ursprüngliche Zahl übrig.
Jede ganze Zahl kann in Primzahlen zerlegt werden
Eine andere Möglichkeit, ganze Zahlen zu betrachten, besteht darin, zu erkennen, dass jede einzelne das Produkt von Primzahlen ist, die ganze Zahlen sind, die nicht weiter faktorisiert werden können. Zum Beispiel ist 3 eine Primzahl, weil man sie nicht faktorisieren kann, aber 81 kann als 3 • 3 • 3 • 3 geschrieben werden. Außerdem gibt es nur eine Möglichkeit, eine gegebene Zahl in ihre Primzahlen zu zerlegen. Dies ist als Fundamentalsatz der Arithmetik bekannt.
Ganzzahlen und ganze Zahlen in Algebra
In der Algebra verwenden Sie Buchstaben, um Zahlen darzustellen. Die Buchstaben werden Variablen genannt. Wenn die Variablen ganze Zahlen darstellen, wenden Sie dieselben Regeln an, die Sie bei der grundlegenden Arithmetik anwenden. Denken Sie daran, dass ganze Zahlen ganze Zahlen sind. Wenn Sie also auf ein Problem stoßen, das angibt, dass die Variablen ganze Zahlen darstellen, müssen sie ganze Zahlen sein. Das bedeutet, dass Sie keine Brüche für sie eingeben können, aber es bedeutet nicht, dass die Ergebnisse nach der Ausführung der angegebenen Operationen nicht gebrochen sind.